冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题：07正余弦定理及其应用（含解析）

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1、专题07正余弦定理及其应用【自主热身，归纳总结】1、在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝，cosB＝，c＝________.【答案】：7　【解析】：因为cosB＝，所以B∈(0，)，从而sinB＝，所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝，又由正弦定理得＝，即＝，解得c＝7.2、在△ABC中，已知AB＝1，AC＝，B＝45°，则BC的长为________．【答案】：　【解析】：在△ABC中，已知c＝1，b＝，B＝45°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得a2－a－1＝0.因为a>0，所以a＝，即BC＝.已知

2、两条边以及一个角，研究第三边的问题的本质是三边一角，所以应用余弦定理是最直接的方法，它要比应用正弦定理来得方便、快捷．3、在△中，若，则的值为．【答案】【解析】由正弦定理得，，不妨设则由余弦定理得.【课本探源】（必修5第26页第10题）在三角形中，若则角等于4、在锐角△ABC中，，．若△ABC的面积为，则的长是．【答案】、【解析】：因为，由，解得，因为是在锐角中，所以（或求出锐角，再求），在锐角中，由余弦定理得：，所以，即.5、在△中，已知，，且的面积为，则边长为．【答案】：76、在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若bsinAsinB＋acos2B＝2c，则的值

3、为________．【答案】：.2　【解析】：由正弦定理得，sinBsinAsinB＋sinAcos2B＝2sinC，即sinA(sin2B＋cos2B)＝2sinC，即sinA＝2sinC，再由正弦定理得，＝＝2.7、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则．.【答案】：4【思路分析】本题第一步应将的条件化成正余弦的等式；第二步由于本题求是的三角形边长，所以将三角函数值等式转化为边长的等式；第三步：再结合解方程组即可.【解析】：解法一：由可得：，即，所以有，即由正、余弦定理可得：，即，又所以，即.解法二：也可在，用余弦定理可得，解得，下同解法一.8、在△ABC中，

4、角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.已知a＋c＝2b，sinB＝sinC，则cosA＝________.【答案】　【解析】：由sinB＝sinC得b＝c.又因为a＋c＝2b，所以a＝c，因此cosA＝＝＝9、设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，则cosA＝________．【答案】、　10、设△的内角，，的对边分别是，且满足，则▲．【答案】;.4解法1（正弦定理）根据正弦定理可得，即，又因为所以又因为，所以所以，则解法2（射影定理）因为及可得，，注意到，两式相除可得，再由正弦定理可得解后反思：解三角形问题中若等式既有三角函数又有边，则可以考虑利用正弦定理或余

5、弦定理转化为只含有边或只含有三角函数的等式处理.解法2则利用了三角形中的射影定理（教材必修5p17练习5）结合条件整体处理.11、在△ABC中，BC=，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当变化时，线段CD长的最大值为．【答案】3思路分析要求的长，只需将表示为的函数形式，然后应用三角函数知识来求它的最大值则可，因此在中应用余弦定理可得，再在中分别应用正弦定理、余弦定理得及，故，由此可得结果．【解析】：在中，由正弦定理得，由余弦定理得．在中，由余弦定理得，故，即．【问题探究，变式训练】例1、.如图，在△ABC中，D是BC上的一点．已知

6、∠B＝60°，AD＝2，AC＝，DC＝，则AB＝________.【答案】　【解析】：在△ACD中，因为AD＝2，AC＝，DC＝，所以cos∠ADC＝＝－，从而∠ADC＝135°，所以∠ADB＝45°.在△ADB中，＝，所以AB＝＝【变式1】、如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD的值为________．【答案】　【解析】：从构造角的角度观察分析，可以从差的角度(∠CAD＝∠A－45°)，也可以从和的角度(∠A＝∠CAD＋45°)，所以只需从余弦定理入手求出∠A的正切值，问题就迎刃而解了．解法1在△ABC中，AB＝3，AC

7、＝2，BC＝4，由余弦定理可得cosA＝＝－，所以tanA＝－，于是tan∠CAD＝tan(A－45°)＝＝.解法2由解法1得tanA＝－.由tan(45°＋∠CAD)＝－得＝－，即＝－，解得tan∠CAD＝.【变式2】、ABCD(第15题)如图，在中，已知点在边上，，，，．（1）求的值；（2）求的长．【解析】：（1）在中，，，所以．同理可得，．所以．【变式3】、如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝1，BD＝2，∠CAD＝，tan∠ADC＝－2.