2、因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：⑴添加或舍去一些项，如：；⑵将分子或分母放大（或缩小）⑶利用基本不等式，如：；⑷二项式放缩:,,(5)利用常用结论：Ⅰ.的放缩：Ⅱ.的放缩(1)：（程度大）Ⅲ.的放缩(2)：（程度小）Ⅳ.的放缩(3)：（程度更小）Ⅴ.分式
3、放缩还可利用真（假）分数的性质:和记忆口诀“小者小,大者大”。解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.18/18Ⅵ.构造函数法构造单调函数实现放缩。例：，从而实现利用函数单调性质的放缩：。一．先求和再放缩例1.,前n项和为Sn，求证：例2.,前n项和为Sn，求证：二．先放缩再求和（一）放缩后裂项相消例3．数列，，其前项和为，求证：解：令，的前项和为当时，点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放
4、大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。（二）放缩后转化为等比数列。例4.满足：（1）用数学归纳法证明：（2），求证：解：(1)略(2)又，迭乘得：18/18点评：把握“”这一特征对“”进行变形，然后去掉一个正项，递推关系放缩，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！三、裂项放缩例5.(1)求的值;(2)求证:.解析:(1)因为,所以(2)因为,所以奇巧积累：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(
5、14)18/18(15)(16)(17)例6.(1)求证:(2)求证:(3)求证:(4)求证：解析:(1)因为,所以(2)(3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先,所以容易经过裂项得到再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以例7.求证:解析:一方面:因为,所以另一方面:当时,,当时,,当时,,所以综上有例8.已知,,求证:.18/18解析:所以从而四、分式放缩姐妹不等式:和记忆口诀”小者小,大者大”解释:看b,若b小,则不等号是小于号,反之亦然.例9.姐妹不等式:和也可以表
6、示成为和解析:利用假分数的一个性质可得即例10.证明:解析:运用两次次分式放缩:(加1)(加2)相乘,可以得到:所以有五、均值不等式放缩例11.设求证解析:此数列的通项为，，18/18即注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里其中，等的各式及其变式公式均可供选用。例11.已知函数，a>0,ba.0,若，且在[0，1]上的最大值为，求证：解析:例12.求证:解析:一方面:(法二)另一方面:六、二项式放缩
7、,,例13.设，求证.解析:观察的结构，注意到，展开得，即，得证.例14.,试证明：.解析:,从而,18/18一方面,另一方面所以,所以,综上有.例15.求证：简证如下：利用二项展开式进行部分放缩：只取前两项有对通项作如下放缩：故有例16.求证:.解析:参见上面的方法,希望读者自己尝试!)七、部分放缩(尾式放缩)例17.求证:解析:例18.设求证：解析:又（只将其中一个变成，进行部分放缩），，于是例19.设数列满足，当时证明对所有有；解析:用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。利用上述部分
8、放缩的结论来放缩通项，可得18/18注：上述证明用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论八、数列递推关系放缩例20.若,求证:解析:所以就有例21.求证:解析:设则,从而,相加后就可以得到所以例22.求证:解析:设则,从而,相加后就可以得到九、函数放缩例23.求证：.解析:先构造函数有,从而因为所以例24.求证:(1)18/18解析:构造函数,得到,再进行裂
