函数_典型例题分析

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1、函数•典型例题分析例1与函数y二x表示相同函数的是C・y=x2B・y=—xx(x》O)-x(x<0)卜(Qo)D・y=U<0)解因为『=亦*

2、与y=^应法贝怀同，护際A.y=—=x(x^O)与y=x的定义域不同排除B・x(芸》0)-x(x<0)实质是y=

3、x

4、与y=x的对应法则、值域不同，排除C.而y=(｛弓］与『=忍，定义域相同，对应法则相同，值域相同，故选D.评注判断两个函数是否相同，要看函数的三要素：定义域，值域，对应法则•其中对应法则不能仅仅从解析式上考虑，要分析其对应法则的本质.例2求下列函数的定义域(4)y=——厂「F1-——

5、和

6、(5)设f(x)的定义域为[0,2],求函数f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定义域.(x-8>0解⑴由(3-Qo*0・••定义域是空集，函数是熄设的函数(2)由函数式可得x-ly^Ob.・••函数的定义域是{x

7、x=-l},定义域是一个孤立的点(-1,0)的横坐标(3)VxM^O.•.xH土2•I函数定义域为(一8,-2)U(-2,+2)U(2,+°°)(4)从函数式可知，x应满足的条件为r1.]i-丰01-——

8、心W#：x<0W4

9、x

10、-x2

11、x

12、-x^0・••函数的定义域为(x

13、x<0,且(2)・・・f(x)定义域为[0,2]所以f

14、(x+a)+f(x-a)中x应满足{00,若2-a>a,贝UaWl即OVaWl时，f(x+a)+f(x-a)的定义域为{x

15、aWxW2-a}当a>l时，xG0评注求f(x)的定义域就是求使函数f(x)有意义的X的取值范围，定义域表示法有：不等式法，集合法，区间表示法等.例3求下列函数的值域3+x5(1沪厂⑵匕2一4+3(3)y=Vl-2x-x解(1)由原式可化为7-(4-x)7y=—-——-=-1+4-x4-x7・-—产o、丰-14-x3+乂故函数y=的值域为{y

16、y€IC&y#-1}(2)将函数

17、变形，整理可得：2yx'-4yx+3y-5=0当y=0时,-5=0不可能,故yHOVxeR.・・A=(-4y)MX2vX(3y-5)NO即y(y-5)WO解得0WyW5而yHO・・・0VyW5故函数值域为(0,5]⑶令7T^=t(t>o)则有1-t2此二次函数对称轴为t=-l由函数图像可知：y》■扌故函数的值域评注求函数值域方法很多，此例仅以三个方面给出例子.学习时要分析函数式的结构特征，从而确定较简单的求值域的方法.例4(1)已知f(x)=x2,g(x)为一次函数，且y随x值增大而增大.若f[g(x)]=4x2-20x+25,求g(x)的解

18、析式(2)己知证+l)=x+2巫求f(x),f(x+l),f(x2)解(1)Vg(x)为一次函数，且y随x值增大而增大故可设g(x)=ax+b(a>0)Vf[g(x)]=4x2-20x+25(ax+b)2=4x~-20x+25即：a2x2+2abx+b2=4x2-20+25解得a=2,b=-5故g(x)=2x-5(2)Tf(丘+l)=x+2=反=(血+1尸即血+啲象是G/x+1)2-1,令t=$j+l,则t》l于是有t的象是tT,即f(t)=t2-l(t^l)故f(x)=x2-l(x^l)・•・f(x+l)=(x+l)2-l=x2+2x(x2

19、0)f(xJ=xT(xW-1或x21)评注对于（1）是用待定系数法求函数的解析式，耍根据题意设出函数的形式，再利用恒等式的性质解Z.求函数解析式的常用方法述有拼凑法，代换法（如⑵）,解方程组等.例5如图1-7,灌溉渠的横断而是等腰梯形，底宽及两边坡总长度为a,边坡的倾角为60°.（1）求横断而积y与底宽x的函数关系式;（2）己知底宽诜中

20、],求横断面面积y的最大值和最小值.解⑴由己知，边坡长为牙则渠高为〒沁60°・z）渠上a—x]底宽为一-—cos60°X2+x=—(a+11R•'•y=空[㊁依+x)+x]x才=(-3x2+2ax+J)16(

21、2)y=7—(-3x2+2ax+a2)16_373枝2亠击16'3>12・•・当"尹，y有最大值#込%今时，y有最小值寥J264评注本题是冇关函数的实际问题，莫方法是把实际问题用数学的形式表示出来，建立变量Z间的函数关系.例6设xNO时,f(x)=2,xVO时,f(x)=l又g(z)=茨乂"x刁0〉0),写出y=g(z)的表达式并作图.3J.y■2■1■a012图1-8解当OVxVl时，x-l<0,x-2<0g(x)=—=1当1WxV2时，x—120,x-2<0能）=2当x22时，g(x)=2・・.y=g(x)=4i(o2)

22、评注分段函数关键是在x的不同条件下计算方法不同，不要认为是三个不同函数.