泛函分析（含答案）

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1、山东师范大学试题綜甫（时间:120分共100分）课程编号：4081331课程名称：数学分析方法适川年级：2004数学试题类别:补考学制：四适用专业：数学与应川题号—・二三阅卷人复核人得分考生注意事项得分阅卷人1、全题三个大题，22个小题。一、判断题判断正确（J）与错误（X）（本题10个小题，每题3分，共30分）：1、（）距离空间X中的序列｛%｝收敛于ZeX的充要条件是｛%｝的任意子列收敛于/；t2、3、4、5、6、7、8、9、10、P3112任一离散空间必是完备的；t3119全有界集不一定对分；F31221相对紧集的闭包是紧集；t31334完备距离

2、空间的闭子空间可能是完备的；f31329X是完备距离空间，T:FTFuX闭，()()()()()如果存在aw[0,1）,使X?(7x,Ty)

3、

4、/

5、

6、=max

7、/（x

8、）

9、H构成一Banach空间。证V显然C［a,b］为一线性空间;2°11/11=max/(xl>0;u0,使得m,n>N时，有Q（九,£）=

10、

11、九-九

12、

13、<£。依范数定义有,对/xea,b］有

14、ZnW-/nMS喇尢（兀）-无（M=优-£

15、'从而，当m,n>N时I九（兀）-£（兀）",Vxea,b所

16、以｛ftl（x）｝在［d“］上一致收敛。故^f^^C［a,b］使得/”&）一致收敛于/（x）,亦BPp（A，/）=

17、

18、L-/Ho,Gtoo）所以C［a,b］的完备性得证综合以上三点，即得证報S哥2、试证紧距离空间上的连续泛函是一致连续的。证设/是紧距离空间X上的连续泛函。下用反证法证明。若/不是一致连续的，则必存在£（）>0,使得对任意的自然数川，都存在耳，儿wX,使得儿）=

19、

20、耳-儿

21、

22、<丄,而

23、

24、/（£）7（）订

25、氓，又X是紧n的，故{xn}中存在收敛子列xnk},设f,再rhpU儿J5比'心J+，儿JT0,所以几T兀。故有所以・f-•致连续

26、3、证明隐函数存在定理：设函数/（x,y）在条形闭区域：a

27、(卩以兀)-GO)

28、02(兀)-01(对1_晋02GO-(P(x)-+人［兀0(x)+。(02G

29、)-0&))肠2GO-0trimm由于0<亠<1,所以Ovl—竺vl,令a=l一一,MMM便有®X兀)-W0X兀)§咖2(兀)一0(刖’所以卩02-T0II-创02-0

30、

31、这就说明T是C(Q,b)中的压缩映彖。rhBanach压缩映彖原理，有唯一的(pwC(a,b)使得T(p=(p,这就是说/(兀,0(兀))三0,al,g(/)是区间[a,b]±的可测函数。如果对任何x(t)eLpayb](l/〃+l/q=l),积分恒存在，那么/"丘厶即⑦方]。证对每个口然数〃，令&(/)=["牛，则g”(J是有界口J测函数。[o,

32、g(q>〃

33、作Lp[a,b]±.的线性泛函Fn(x)=fx(f)g“(讪(x(z)€Lp[tz,/?])o利用HoIder不等式，易知代(x)是/[a,b]上的有界线性泛函。因为•x(/)g“(r)

34、s

35、x(F)g(",而M)g(d可积,故由积分控制收敛定理,知卜(r)g“("可积，并HlimFn(x)=fx(t)g(t)dt。"TOO4/ttt_—h4乔綜甫®所以sup

36、/^(x)

37、<4-00,故由共鸣定理得sup帆

38、

39、=MV+00,因而专打

40、｝有界。n>fi>然后由F”(signg”("g”")=f

41、g”WT曲VIEIlJIsigngQg”©%”即知(

42、f

43、g"CF町闯。因此『

44、久何'力｝有界。最后由f

45、g&)T力巳型』久胖力v亦即得几