换元法在数学中的应用

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1、换元法在数学中的应用案例教学重难点：教学目标：高考地位：一.基础训练：1.函数y=2x+vrn的值域是2•已知/(x+l)=x2一5x+4,则/(%)=则x+y的最大值为3.若P(x,y)满足兀2+y2=25,二知识讲解1•定义：2奂元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使复杂问题得到简单化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元。2•运用范围：它可以化高次为低次、化无理为有理、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、

2、三角等问题中有广泛的应用。3•换元的方法主要有：•整体换元、均值换元、三角换元、局部换元(1)•整体换元例]分解因式：(a?+3a_2)(a2+3a+4)_16.解：设a?+3a—2=m,贝原式=m(m+6)-16=m2+6m-16=(m+8)(m-2)=(a2+3a+6)(a2+3a-4)=(a2+3a+6)(a+4)(a-1)・评注：此题还可以设a?+3a=m,或a2+3a+4=m,或屏+3a+l=m。运用换元法分解因式，是将原多项式中的某一部分巧用一个字母进行代换，从而使原多项式的结构简化，进而便于分解因式.(2)•均值换元，如遇到x+y=S形式

3、时，设x=

4、+t,y=

5、-t等等。结合三角形角的关系与三角公式进行运算。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩TT大。如上几例中的t>0和ae[o,-]o例题：解方程组/2x+3y=12,(1)[7x-17y=97.(2)解：由①可设2兀=6+&,3y=6—6(,即x=3+3r,y=2-2z,代入②，得7(3+3/)-17(2-2/)=97.・t=2・x=3+3x2=9,y=2-2x2=-2.•••••・••原方程组的解为兀=9,y=-2.x=3—y

6、=2—说明：本题若按常规设法，可设2x=6+r,3y=6-r,此时~2,3.由于出现了分数，给运算带来麻烦，因此设2兀=6+&,3y=6-&,此时兀=3+3/,"2-力，没有出现分类，使运算变得简捷.换元的作用：①降次、②化分式方程为整式方程、③化繁为简。注明：此方法略难，重点生可以研究普通生有兴趣的研究(1)三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数丫=4x+Vl-x的值域时，易发现xW[O,1],设x=sin2a,aW[O,彳],问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，

7、其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量X、y适合条件x2+y2=r2(r>0)时，则可作三角代换x=rcos0、y=rsin0化为三角问题。例题：求函数y=3lx+2—4p2—x的值域.X+2M0,解：由

8、、解得-2WxW2,所以函数的定义域为[-2,2].2一xMO,因为(心石尸+(^2二x)2=4,h/x+2=2sin0,n故可设[v——(0€[0,T])[yj2-x=2cos0,L则y=3X2sin0一4X2cos0=6sin0一8cos0=lOsin(0一0)(/其屮0W/、oF3,cos(p=—,•4)sin6?=—kL2丿

9、55丿因为&€0,j,所以&一卩€一(p,j~所以当〃=0时,函数取得最小值10sin(-°)=10X-8;当0=号时，函数取得最大值10sin(j-(p)=lOcos(p=10X~=6.综上，函数的值域为[-8,6].例题:设点P（x,y）在椭圆4*+y2“上,（4）局部换元。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例题：已知函数Ax）=4x-2xt+t+在区间（0,+呵上的图像恒在x轴上方，则实数（的取值范A.(2+2^2,+8)B・(一8,2+2迈)C・(0,

10、2+2V2)D.(2+2^2,8)选B令加=2*(加＞1),则问题转化为函数=tn1-mt1在区间(1,+8)上的图象恒"0,解得t<2+2迈・即实数t的取值范围是在x轴的上方，即力=/一4（『+1）<0或<£<1，、1一/+1+40,(-8,2+2^2).巩固练习(基础版本)：1已知/(l-cosx)=sin2x,求f(x)2•已知/(XH)=d7'求/(x)，/(x+1)X兀~3.已知f(y/x+1)=x+2丘求+1),/(x2)4./?(%)=%-Vx-1的零点5•方程4x+2x-2=0的解是6・y=log3x+4logv3的值域7•方程sin?

11、兀—2sinx—Q=o在xg/?±有零点，则d的取值范围是8•椭圆=1上的点到直线“2厂血"的