换元法在数学中的应用.doc

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1、换元法在数学中的应用案例教学重难点：教学目标：高考地位：一.基础训练：1.函数y＝2x＋的值域是________________。2.已知，则=3.若满足，则的最大值为二．知识讲解1.定义：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使复杂问题得到简单化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元。2.运用范围：它可以化高次为低次、化无理为有理、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有

2、广泛的应用。3.换元的方法主要有：.整体换元、均值换元、三角换元、局部换元（1）.整体换元例1分解因式：解：设，则原式评注：此题还可以设，或，或。运用换元法分解因式,是将原多项式中的某一部分巧用一个字母进行代换,从而使原多项式的结构简化,进而便于分解因式.（2）.均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。结合三角形角的关系与三角公式进行运算。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和

3、α∈[0,]。例题：解方程组解：由①可设，，即，，代入②，得∴.∴∴原方程组的解为说明：本题若按常规设法，可设，，此时，﹒由于出现了分数，给运算带来麻烦，因此设，，此时，，没有出现分类，使运算变得简捷.换元的作用：①降次、②化分式方程为整式方程、③化繁为简。注明：此方法略难，重点生可以研究普通生有兴趣的研究（3）三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么

4、会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。例题：求函数y＝3－4的值域．解：由解得－2≤x≤2，所以函数的定义域为[－2,2]．因为()2＋()2＝4，故可设(θ∈[0，])则y＝3×2sinθ－4×2cosθ＝6sinθ－8cosθ＝10sin(θ－φ)(．因为θ∈，所以θ－φ∈.所以当θ＝0时，函数取得最小值10sin(－φ)＝10×＝－8；当θ＝时，函数取得最大值10sin(－φ)＝10cosφ＝1

5、0×＝6.综上，函数的值域为[－8,6]．例题：设点P(x,y)在椭圆上，求的最值（4）局部换元。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例题：已知函数f(x)＝4x－2xt＋t＋1在区间(0，＋∞)上的图像恒在x轴上方，则实数t的取值范围是(　　)A．(2＋2，＋∞)B．(－∞，2＋2)C．(0,2＋2)D．(2＋2，8)选B　令m＝2x(m>1)，则问题转化为函数f(m)＝m2－mt＋t＋1在区间(1，＋∞)上的图象恒在x轴的上方，即Δ

6、＝t2－4(t＋1)<0或解得t<2＋2.即实数t的取值范围是(－∞，2＋2)．巩固练习（基础版本）：1已知求2.已知3.已知4.的零点5.方程4x+2x-2=0的解是6.的值域7.方程上有零点，则的取值范围是8.椭圆上的点到直线的最大距离是9.设的最小值是10.某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式，并写出它们的函数关系式（2）该企业已筹集到

7、10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）变式训练1.关于的方程有实根，求实数的取值范围．2.方程＝3的解是_______________3.已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．若满足，则的最小值为能力提升1.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。【简解】设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0,△＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；2.y＝sin

8、x·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。【简解】设sinx+cosx＝t∈[－,]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y＝＋；3.已知数列{a}中，a＝－1，a·a＝a－a，则数列通项a＝___________。【简解】已知变形为－＝－1,设b＝，则b＝－1,b＝