2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版板块命题点专练(十一)空间向量及其应用含解析

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1、板块命题点专练(十一)空间向量及其应用命题点 向量法求空间角及应用1.(2018·全国卷Ⅱ)如图,在三棱锥PABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角MPAC为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.解:(1)证明:因为PA=PC=AC=4,O为AC的中点,所以PO⊥AC,且PO=2.连接OB,因为AB=BC=AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=AC=2.所以PO+OB2=PB2,所以PO⊥OB.又

2、因为OB∩AC=O,所以PO⊥平面ABC.(2)以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),=(0,2,2).取平面PAC的一个法向量=(2,0,0).设M(a,2-a,0)(0<a≤2),则=(a,4-a,0).设平面PAM的法向量为n=(x,y,z),由得令y=a,得z=-a,x=(a-4),所以平面PAM的一个法向量为n=((a-4),a,-a),所以cos〈,n〉=.由已知

3、可得

4、cos〈,n〉

5、=cos30°=,所以=,解得a=或a=-4(舍去).所以n=.又=(0,2,-2),所以cos〈,n〉==.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.2.(2018·全国卷Ⅰ)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⊥BF.(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.解:(1)证明:由已知可得BF⊥PF,BF⊥EF,又PF∩EF=F,所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD,所

6、以平面PEF⊥平面ABFD.(2)如图,作PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点,,HP的方向分别为y轴,z轴正方向,

7、

8、为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=.又PF=1,EF=2,所以PE⊥PF.所以PH=,EH=.则H(0,0,0),P,D,=,=.又为平面ABFD的法向量,设DP与平面ABFD所成角为θ,则sinθ===.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.3.(2018·浙江高考)如图,已知多面体A

9、BCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)证明:AB1⊥平面A1B1C1;(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.解:法一:(1)证明:由AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1⊥AB,BB1⊥AB,得AB1=A1B1=2,所以A1B+AB=AA,故AB1⊥A1B1.由BC=2,BB1=2,CC1=1,BB1⊥BC,CC1⊥BC,得B1C1=.由AB=BC=2,∠ABC=120°,得AC=2.由CC1⊥AC,

10、得AC1=,所以AB+B1C=AC,故AB1⊥B1C1.又因为A1B1∩B1C1=B1,所以AB1⊥平面A1B1C1.(2)如图,过点C1作C1D⊥A1B1,交直线A1B1于点D,连接AD.因为AB1⊥平面A1B1C1,AB1⊂平面ABB1,所以平面A1B1C1⊥平面ABB1.因为平面A1B1C1∩平面ABB1=A1B1,C1D⊥A1B1,C1D⊂平面A1B1C1,所以C1D⊥平面ABB1.所以∠C1AD是直线AC1与平面ABB1所成的角.由B1C1=,A1B1=2,A1C1=,得cos∠C1A1B1=,si

11、n∠C1A1B1=,所以C1D=,故sin∠C1AD==.所以直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.法二:(1)证明:以AC的中点O为坐标原点,分别以射线OB,OC为x轴,y轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意知各点坐标如下:A(0,-,0),B(1,0,0),A1(0,-,4),B1(1,0,2),C1(0,,1).因此=(1,,2),=(1,,-2),=(0,2,-3).由·=0,得AB1⊥A1B1.由·=0,得AB1⊥A1C1.又因为A1B1∩A1C1=A1,所以AB1⊥平面A

12、1B1C1.(2)设直线AC1与平面ABB1所成的角为θ.由(1)可知=(0,2,1),=(1,,0),=(0,0,2).设平面ABB1的法向量为n=(x,y,z),由得可取n=(-,1,0).所以sinθ=

13、cos〈,n〉

14、==.所以直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.4.(2018·北京高考)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,CC1⊥平面ABC,D,E,F,G分别为AA1,AC,A1C

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