高考数学总复习板块命题点专练（十一） 空间向量及其应用.doc

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1、板块命题点专练（十一）空间向量及其应用命题点向量法求空间角及应用1．(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．解：(1)证明：因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以PO⊥AC，且PO＝23.2连接OB，因为AB＝BC＝AC，2所以△ABC为等腰直角三角形，1且OB⊥AC，OB＝AC＝2.2所以PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB.又因为OB∩AC＝O，所以PO⊥平面ABC.―→(2)以O为坐标

2、原点，OB的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，C(0，2,0)，P(0,0,23)，―→AP＝(0,2,23)．―→取平面PAC的一个法向量OB＝(2,0,0)．―→设M(a,2－a,0)(0＜a≤2)，则AM＝(a,4－a,0)．设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)，―→AP·n＝0，2y＋23z＝0，由得―→AM·n＝0，ax＋4－ay＝0，令y＝3a，得z＝－a，x＝3(a－4)，所以平面PAM的一个法向量为n＝(3(a－4)，3a，－a)，―→23a－4所以cos〈OB，n〉＝

3、.23a－42＋3a2＋a2―→3由已知可得

4、cos〈OB，n〉

5、＝cos30°＝，223

6、a－4

7、3所以＝，23a－42＋3a2＋a224解得a＝或a＝－4(舍去)．383434－，，－所以n＝333.―→又PC＝(0,2，－23)，8383＋―→333所以cos〈PC，n〉＝＝.64161644＋12·＋＋3393所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.42.(2018·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角

8、的正弦值．解：(1)证明：由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，又PF∩EF＝F，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)如图，作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.―→以H为坐标原点，HF，HP的方向分别为y轴，z轴正方向，―→

9、BF

10、为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DE⊥PE.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝3.又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF.33所以PH＝，EH＝.22330，0，－1，－，0则H(0,0,0)，P2，D2，333―→1，，―→0，0，DP＝22，HP＝2.―→又HP为平

11、面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为θ，―→―→3

12、HP·DP

13、3则sinθ＝＝4＝.―→―→4

14、HP

15、

16、DP

17、33所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.43.(2018·浙江高考)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．解：法一：(1)证明：由AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB，得AB1＝A1B1＝22，所以A2221B1＋AB1＝AA1，故AB1⊥

18、A1B1.由BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC，得B1C1＝5.由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，得AC＝23.由CC1⊥AC，得AC1＝13，所以AB2221＋B1C1＝AC1，故AB1⊥B1C1.又因为A1B1∩B1C1＝B1，所以AB1⊥平面A1B1C1.(2)如图，过点C1作C1D⊥A1B1，交直线A1B1于点D，连接AD.因为AB1⊥平面A1B1C1，AB1⊂平面ABB1，所以平面A1B1C1⊥平面ABB1.因为平面A1B1C1∩平面ABB1＝A1B1，C1D⊥A1B1，C1D⊂平面A1B1C1，所以C1D⊥平面ABB1.所以∠C1AD是直线

19、AC1与平面ABB1所成的角．由B1C1＝5，A1B1＝22，A1C1＝21，61得cos∠C1A1B1＝，sin∠C1A1B1＝，77所以C1D＝3，C1D39故sin∠C1AD＝＝.AC11339所以直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.13法二：(1)证明：以AC的中点O为坐标原点，分别以射线OB，OC为x轴，y轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题意知各点坐标如下：A(0，－3，0)，B(1,0,0)，A1(0，－3，4)，B1(1,0,