2020版高考数学复习第九章平面解析几何9.5椭圆（第2课时）直线与椭圆教案理（含解析）新人教A版

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1、第2课时　直线与椭圆题型一　直线与椭圆的位置关系1．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)A．m>1B．m>0C．00且m≠5，∴m≥1且m≠5.2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试

2、问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解　将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ>0，即－3

3、，即m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．题型二　弦长及中点弦问题命题点1　弦长问题例1斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则

4、AB

5、的最大值为(　　)A．2B.C.D.答案　C解析　设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，则x

6、1＋x2＝－t，x1x2＝.∴

7、AB

8、＝

9、x1－x2

10、＝·＝·＝·，当t＝0时，

11、AB

12、max＝.命题点2　中点弦问题例2已知P(1,1)为椭圆＋＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________________．答案　x＋2y－3＝0解析　方法一　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k(x－1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，∴x1＋x2＝，又∵x1＋x2＝2，∴＝2，解得k＝－.经检验，k＝－满足题意．故此弦所在的

13、直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.方法二　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，①＋＝1，②①－②得＋＝0，∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴＋y1－y2＝0，∴k＝＝－.经检验，k＝－满足题意．∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.思维升华(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．记住必须检验．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A

14、(x1，y1)，B(x2，y2)，则

15、AB

16、＝＝(k为直线斜率)．(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．跟踪训练1已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程．解　(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到该直线的距离d＝＝，由d＝c，得a＝2b＝2，解得离心率＝.(2)方法一　由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝4b2

17、.①依题意，圆心M(－2,1)是线段AB的中点，且

18、AB

19、＝.易知，AB与x轴不垂直，设其方程为y＝k(x＋2)＋1，代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，由x1＋x2＝－4，得－＝－4，解得k＝，从而x1x2＝8－2b2.于是

20、AB

21、＝

22、x1－x2

23、＝＝，由

24、AB

25、＝，得＝，解得b2＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.方法二　由(1)知，椭圆E的方程为x2＋4y2＝