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1、浅谈整函数与亚纯函数摘要：本文主要介绍整函数，亚纯函数和它们的相关定理，推论以及超越整函数，超越亚纯函数，刘维尔定理，代数学基本定理等等.关键词：整函数；超越整函数；亚纯函数；超越亚纯函数；刘维尔定理TheDiscussionofIntegralFunctionandMeromorphicFunctionsAbstract：Thispapermainlyintroducesintegralfunctionanditsrelatedtheorem,corollary,transcendentalintegralfunction,merom
2、orphicfunctionsanditsrelatedtheorem,corollary,transcendentalmeromorphicfunctions,andLiuweiertheorem,algebrafundamentaltheorem,etc.Keywords：Integralfunction;Transcendentalintegralfunction;Meromorphicfunction;Transcendentalmeromorphicfunctions;Liuweiertheorem1整函数的概念定义1在整个z
3、平面上解析的函数称为整函数.例如，多项式，区,Sinz等都是整函数.设/(z)为一整函数，则/(z)只乙=g以为孤立奇点月•有00/⑵=^CnZn(0<
4、z
5、<4-oo).?:=0定理1设/(Z)为一整函数，则⑴Z=00为/(z)的可去奇点的充要条件为f(z)=常数C。,⑵z=8为/(z)的m阶极点的充要条件为是/(z)是一个m次多项式c()+qz+・・・+5z"'(5H0).co⑶Z=00为/⑵的木质奇点的充要条件为展式/(Z)=£c“z"(ow忖V+oo)有无穷多n=0个c”不等于零.由此可见，整函数族按唯一奇点Z=00的不同类型而
6、被分为了三类.例1设.f(z)为一整函数，试证g(z)=[乙广(0),"0也是一个整函数.证显然，g(z)在ZH0的点上解析.在z=()点，由/(Z)为一整函数知，.f(z)在这一"点解析，又有limg⑵=lim/a)~/(0)=广(0)=g(0),x->axTaz故g(z)在z=0这一点也解析.例2/(z)为一整函数，且满足下列条件之一，试证/(乙)必为常数.(1)广⑵=0;(2)帀在z平面上解析；(3)
7、/(z)
8、为常数;(4)Ref(z),Re.f(z),Imf(z),M,a,n或Im/(z)为常数.证⑴对=x+有0二广(z)二叭
9、+讥二片,一巾「，从而vv=uy=0,故/(z)为常数.(2)设/(z)=w+zv,则f(z)=u-iv解析，易知以=uy=vx=vv=0从而w为常数,故/(z)为常数.(3)若
10、/(訓三C=0,则显然/(z)三0・若
11、/(z)
12、三ChO,则此时有./Xz)hO,且「2ZW⑵三C2,即于⑵三上一也是解析函数,则利用(2)即得/⑵=0・/⑵(4)设/⑵二u+沙,若u(兀,y)三C,则以三0,叫三0・由C・--R・条件得vx=-uy=0,vv=ux=0,因此"=C[9v=C2,/(z)=Q+iC?为常数.若Im/(z)为常数，同理可得/(z
13、)为常数.1.1超越整函数00设/⑵为一整函数，则有/(z)=£cwzw(0<
14、z
15、<+oo)-若其中有无穷多个C”不等于71=0零，则/(Z)为超越整函数.例如，“，Sinz，cosZ等都是超越整函数.1.2刘维尔定理有界整函数/(z)必为常数.证设
16、/(z)
17、的上界为M,则在柯西不等式屮，对无论什么样的只均有・丁•是令/?=1,有If⑷I逬,上式对一切/?均成立，令/?T+00,即知广(d)=0,而Q是z平面上任一点，故/(Z)在Z平面上的导数为零，从而f(z)必为常数.刘维尔定理，又称模有界定理，刘维尔定理的几何意义是:非常数整函
18、数的值不能全含于一鬪之内.它的逆命题为真，即：常数为有界整函数.；它的逆否命题也为真，即：非常数的有界整函数必无界.1.3刘维尔定理的扩充定理在扩充Z平面上解析的函数/(Z)必为常数.证/(Z)在Z平面上解析，则/(Z)必为整函数，而整函数只以00点为孤立奇点，而于⑵在00点解析,故00点只能是/(Z)的可去奇点，从而于⑵必为常数.推论1实部有界的整函数f(z),z=oo必为常数.证令F(z)="⑵,则F⑵为整函数.由于于(z)实部有界，则存在M>0,使得F⑵卜严心<詐，从而有界，由刘维尔定理可见F⑵是常数，因此/⑵为常数.推论2非常数
19、整函数的值不能全含于一圆之外.证设w=f(Z)为整函数且非常数，若值全含于一圆之外，即存在©及％〉0,使得对任何z，恒有
20、f⑵-5
21、>久，则有非常数整两数g(z)=—'—(因/⑵-©
22、/(Z)-©
23、〉£o)
