亚纯函数与整函数的复合函数的Julia方向.pdf

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1、第18卷第1期纺织高校基础科学学报VOl.18NO.12005年3月BASICSCIENCESJOURNALOFTEXTILEUNIERSITIESMarch2005=================================================================文章编号:1006-8341(2005)01-0036-03亚纯函数与整函数的复合函数的Julia方向刘孝书(商丘师范学院数学系河南商丘476000)摘要:证明了开平面上有限正级超越亚纯函数f()与超越整函数()的复合函

2、数S()=f{()}至少存在一条Julia方向.关键词:超越亚纯函数G超越整函数G复合函数GJulia方向中图分类号:0174.52文献标识码:A0引言对于超越亚纯函数除超越整函数外不一定都具有Julia方向.A.0strOWski[1]曾举出简单的超越亚纯函数f()的例子其增长性为T(1f)=O((lOg1)2)(1-O)并且f()不具有Julia方向.虽然如此却有如下结果:定理A[2]设f()是开平面上的亚纯函数且T(1f)lim2=O1-O(lOg1)则必存在一条由原点出发的半直线J:arg=60(060

3、<2T)使得在角顶点位于原点以J为平分角线的任意小角域内f()取任意复数值无穷多次至多除去两个复数例外.这条半直线J称为亚纯函数f()的Julia方向.1主要结果从复合函数这条途径探讨超越亚纯函数Julia方向的存在性得到如下结果:定理1设f()为开平面<+O上有穷正级超越亚纯函数()为超越整函数则复合函数S()=f{()}则复合函数至少存在一条Julia方向.2引理引理1设f1()及f2()是开平面<+O上级分别为P1和P2的亚级函数且P1P2则f1()-f2()f1()f2()及f2()f1()的级均不大于

4、P2.证明当P10当1充分大时有P+G2P+G2P+G2P+GT(1f1-f2)T(1f1)+T(1f2)<11+12=212<12因此f1()-f2()的级PP2.根据文[2]中定理5.10知1f2()与f2()有相同的级.从而由上面证明结果即知f1()f2()=收稿日期:2004-09-07作者简介:刘孝书(1957-)男河南省商丘市人商丘师范学院副教授主要从事复变函数论的教学与

5、研究.E-mail:liux-iaOshu888@sina.cOm.第1期亚纯函数与整函数的复合函数的Julia方向37f1()*(1/f2())的级2.同理f2()/f1()的级2.引理2[3]设f()为开平面<+O上有限级的亚纯函数a1a2~aU为其零点J1J2~JU为其极点则有/f()=eXp(@())p1()/p2()其中p1()及p2()分别是以非零的为{aU}及{JU}零点的及典型乘积/是一整数@()是一次数不超过的多项式.证明不妨设f(O);O.否则作g()=f()/即可.置f1()=f()p2(

6、)则f1()为整函数O又由Borel定理[3]即可推出典型乘积p2()的级不大于f()的级.根据引理1f1()至多为级的整函数O再由整函数的adamard分解定理有/f1()=eXp(@())p1()其中p1()是以f1()的非零的零点亦即f()的非零的零点构成的典型乘积/EN@()是一次数不超过的多项式.引理得证.3定理1的证明根据Borel定理[3]超越亚纯函数至多有两个Borel例外值.故不妨设有限复数C非为g()=f{g()}的Borel例外值.置F()=f()-C则F()与f()有相同的级(O<<+O

7、).依照引理2先将F()分解为/F()=eXp(@())p1()/p2()=f1()/f2().(1)其中当/2O时f1()=/eXp(@())p1()f2()=p2();当/

8、推出f1()及f2()的级均不大于F()的级且两者至少有一个的级等于.不妨设f()的级为这样f1()必为超越整函数.再从(1)式出发将F{g()}=g()-c分解为F{g()}=g1()/g2()其中g1()=f1{g()}g2()=f2{g()}且f1()和f2()由(1)式确定.根据g1()的构造知g1()的零点及所属的阶与F{g()}的零点及所属的阶都相同因而它们的零点的收敛指数