数学 第一讲全等三角形的性质及判定(一)

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1、第一讲全等三角形的性质及判定（一）一、要点提示1、全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。能够相互重合的顶点、边、角分别叫做对应的顶点、对应边、对应角。全等符号为“≌”。2、组成全等三角形的基本图形：（1）平移型：如图所示（对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到）（2）轴对称型：如图所示（重合的顶点就是全等三角形的对应顶点）。（3）旋转型：如图所示。它们可以看成以某一顶点为中心旋转所构成的，故一般有一对相等的角隐含在对应顶角、某些角的和或差中。3、全等三角形的性质：●对应角相等●对应边相等●对应边上的中线相等●对应边上的高相等●对应角的角分线相等4、全等

2、三角形的判定方法：（1）边角边定理（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（2）角边角定理（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（3）边边边定理（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。16（4）斜边、直角边定理（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两具直角三角形全等。已知一边一角边为角的对边→找任意一角→AAS边就是角的一条边找这条边上的另一角→ASA找这条边上的对角→AAS找该角的另一边→SAS已知两边找夹角→SAS找直角→HL找另一边→SSS找两角的夹边→ASA找任意一边→AAS已知两角5、判定三角形全等的基本思路：6、全等三角形的应用：运用三角形全等可以证

3、明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线。7、主要考点：能通过判定两个三角形全等，进而可以证明两条线段间的位置关系和大小关系，而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等，是几何证明的基础，进而还会涉及到数学思想中的转化思想和构造法等。二、全等三角形的判定公理1、边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)。例1已知：如图，∠1＝∠2，AB＝AD。求证：△ABC≌△ADC变式已知，如图，等腰△ABC与△ADE中，,且.求证：16BECDA12思考:将上图中的△ACB绕点A沿顺时针方向旋转,上述结论是否成立?例

4、2已知CE=CB，∠1=∠2，AC=DC，求证：△ABC≌△DEC2、角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)。例3已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD=CF，求证：△ABC≌△DEF；变式:已知:如图,AB∥CD,AD∥BC,求证:(1)AB=CD(2)∠B=∠D:3、角角边推论(AAS)有两角和其中一角的对边相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS”)。16例4．已知M是AB的中点，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：△AMC≌△BMD；例5.已知：∠B＝∠C，BE＝CF，求证DE＝DFAFEDBC变式:求证:三角

5、形的一边两端到这边的中线或中线延长线的距离相等4、边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。BCDEFA例6已知：如图。A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，求证：△ABC≌△DEF16变式:已知,如图,在△ABC中,M在BC上,D在AM上,AB=AC,DB=DC求证:MB=MC注：SSA,AAA不能作为判定三角形全等的方法5、斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)。例7．已知：BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，求证：①△BEC≌△DAE②DF⊥BC变式:

6、已知,如图,AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CDBCDEFA求证:BE⊥AC166、针对两个三角形不同的位置关系，总结出寻找对应边，对应角的规律：①有公共边的，公共边一定是对应边；②有公共角的，公共角一定是对应角；③有对顶角的，对顶角一定是对应角；④两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（角）；一对最短的边（或最小的角）是对应边（角）⑤全等三角形中，对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；⑥全等三角形中，对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角对应角。三、角平分线1.角平分线的定义。(1)如果以角的顶点为端点的一条射线把这个

7、角分成两个相等的角，那么这条射线称作这个角的平分线。(2)角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。162．角平分线的性质定理和逆定理。(1)性质定理：在角平分线上的点到这个角两边的距离相等。已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E；求证：PD=PE。   (2)逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E