2018_2019学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.2综合法与分析法练习（含解析）新人教A版选修4_5

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1、二　综合法与分析法一、选择题1.给出下列四个命题:①若a>b>0,则;②若a>b>0,则a->b-;③若a>b>0,则;④设a,b是互不相等的正数,则

2、a-b

3、+≥2.其中正确的命题是(　　)A.①②B.②C.②③D.③④解析:①a>b>0,则,故①错;②a>b>0,则,故②对;③中<0,故③错;④因为a-b不能确定为正数,故④错.答案:B2.当x>1时,不等式x+≥a恒成立,则实数a的取值范围是(　　)A.(-∞,2]B.[2,+∞)C.[3,+∞)D.(-∞,3]解析:要使x+≥a恒成立,只需f(x)=x+的最小值大于等于a即可,而x+=x-1++1≥2+1

4、=3.∴f(x)的最小值为3,∴a≤3.答案:D3.设a,b∈R+,A=,B=,则A,B的大小关系是(　　)A.A≥BB.A≤BC.A>BD.A0.又A>0,B>0,∴A>B.答案:C4.若1

5、gx2=(lgx)2-2lgx=lgx(lgx-2)<0,∴0<(lgx)2PD.P≤S<2P解析:∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca,即S≥P.又三角形中

6、a-b

7、

8、D二、非选择题6.已知x,y∈R,且1≤x2+y2≤2,z=x2+xy+y2,则z的取值范围是　　　　　. 解析:∵-≤xy≤,∴(x2+y2)≤x2+xy+y2≤(x2+y2).又∵1≤x2+y2≤2,∴≤z≤3.答案:7.若a>0,b>0,则下列两式的大小关系为lg　　　 [lg(1+a)+lg(1+b)].解析:[lg(1+a)+lg(1+b)]=lg[(1+a)(1+b)]=lg[(1+a)(1+b),lg=lg.∵a>0,b>0,∴a+1>0,b+1>0,∴[(a+1)(1+b),∴lg≥lg[(1+a)(1+b).即lg[lg(1+a)+lg(1+b

9、)].答案:≥8.建立一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为　　　　元. 解析:设水池底长为x(x>0)m,则宽为(m).水池造价y=×120+×80=480+320≥480+1280=1760(元),当且仅当x=2时取等号.答案:17609.已知a,b是不相等的正数,且a3-b3=a2-b2.求证:1a2+ab+b2=a+b.∴a+b>1.要证a+

10、b<,只需证3(a+b)<4,只需证3(a+b)2<4(a+b),即3(a2+2ab+b2)<4(a2+ab+b2),只需证a2-2ab+b2>0,只需证(a-b)2>0,而a,b为不相等的正数,∴(a-b)2>0一定成立.故而a+b<成立.综上,10,b>0,a+b=1,求证≥8.解：证明:∵a>0,b>0,a+b=1,∴1=a+b≥2,∴≥4.∴=(a+b)≥2·2+4=8.当且仅当a=b=时,等号成立.∴≥8.三、备选习题1.设x>0,y>0,且x≠y,求证:(x3+y3<(x2+y2.分析:注意到x,y的对称性,可能会想到重要不等式

11、,但后续思路不好展开,故我们可采用分析法,从消去分数指数幂入手.证明:∵x>0,y>0,且x≠y,∴要证(x3+y3<(x2+y2,只需证(x3+y3)2<(x2+y2)3,只需证2x3y3<3x2y2(x2+y2),只需证2xy<3(x2+y2),只需证2xy0.∵x≠y,∴(x-y)2>0一定成立,故而(x3+y3<(x2+y2.