金版教程高考数学文二轮复习讲义：第二编专题整合突破专题二函数与导数第四讲导数的综合

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1、第四讲导数的综合应用1.利用导数求函数最值的几种情况⑴若连续函数/⑴在(d,b)内有唯一的极大值点龙，则沧0)是函数/⑴在a,创上的最大值,{/(6Z),»}min是函数/⑴在a,b］上的最小值;若函数/⑴在(a,b)内有唯一的极小值点Xo,则.心0)是函数/⑴在a,bl上的最小值,{f{aY»}max是函数.心)在Q，切上的最大值.(2)若函数沧)在d,b］上单调递增，则»是函数沧)在Q,b］上的最小值，/(b)是函数心)在Cl,b］上的最大值；若函数,/(x)在CL,b］上单调递减，则血1是函数/⑴在

2、Q,切上的最大值，位1是函数/⑴在Q,切上的最小值.(3)若函数y(兀)在a,b］上有极值点兀1，沉2,…，x,z(/7eN*,心2),则将XxO,>2),»作比较，其中最大的一个是函数沧)在CL,b］上的最大值,最小的一个是函数/(兀)在a,b］上的最小值.2.不等式的恒成立与能成立问题(1)/(x)>g(x)对一切XU/恒成立0/是.心)沖(兀)的解集的子集0/(兀)—g(X)］n)in>0(xU7)・(2)/(x)>g⑴对x^I能成立<=>/与./(x)>g⑴的解集的交集不是空集今心)—g⑴］max

3、>0(兀I).(3)对VX］,X2^D使得/(%1)^g(X2)^/Wmax^g(X)min・(4)对X/xi^Di，Bx2^D2使得./(Xl)2g(X2)O/⑴miPgOOmin，.心)定义域为Dl，g(Q定义域为。2・3•证明不等式问题不等式的证明可转化为利用导数研究函数的单调性、极值和最值，再由单调性或最值来证明不等式，其中构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.热点考向探究Ill考e利用导数研究函数的零点(或方程的根)1111典例示法题型1利用导数判断零点(或根)的个数问题典例12014-陕西

4、高考］设函数»=lnx+7^meR.⑴当m=e(e为自然对数的底数)时，求•心)的极小值；⑵讨论函数g(x)=f(x)—专零点的个数；(3)若对任意b>a>0,代［俨<1恒成立，求m的取值范围.e%—q解］(1)由题设，当m=e时，/(x)=lnx+;,则JvJi・••当%e(0,e),f⑴<0,/(x)在(0,e)上单调递减，当x£(e,+oo),f(x)>0,Xx)在(e,+->)上单调递增，当x=e时，y(兀)取得极小值Xe)=lne+

5、=2,・•・./(兀)的极小值为2.(2)由题设g(x)=/(

6、x)—专—爭一扌(x>0),令g(x)=°，得加=—+x(x>0)・则°’(%)=—X2+1=—(X—1)(%+1),当xe(0,l)时，Q⑴>0,°(x)在(0,1)上单调递增；当%e(i,+oo)时，0(x)<0,紙兀)在(1,+8)上单调递减./.X=l是卩(兀)的唯一极值点，且是极大值点，.・・兀=1是卩⑴的最大值点.•.0(兀)的最大值为0(1)=亍又0(0)=0,结合y=(p(x)的图象(如图)，可知2①当加>3时，函数g(x)无零点；2②当m=q时，函数g(x)有且只有一个零点；2③当0<加

7、<3时，函数g⑴有两个零点；④当加W0时，函数g(x)有且只有一个零点.、?综上所述，当加>亍时，函数g(x)无零点；2(3)对任意的b>a>0,.代b~a<1恒成立,当或加W0时，函数g(x)有且只有一个零点;等价于/(/?)—b0),・•・(*)等价于〃(x)在(0,十8)上单调递减.由力'(x)=~—^—1W0在(0,十8)上恒成立，得加$—x当00)恒成立，di^4v

8、对加=j，(兀)=0仅在x=2时成工9m的取值范围是+1-4题型2利用零点(或根)的存在情况求参数的取值范围典例2已知函数=21nx-?+ax(aeR).⑴当q=2时，求./(兀)的图象在兀=1处的切线方程；(2)若函数g{x)=f[x)—ax+m在右，e上有两个零点，求实数m的取值范围.2解](1)当q=2时，»=21nx-?+2x,f(x)=—2x+2,切点坐标为(1,1),切线的斜率k=f(1)=2,则切线方程为尹一1=2(兀-1),即y=2x~.・・u丄•兀U,e,当g'(x)=0时，x=l.当

9、右*1时，(x)>0；当l0,萄=加_2_兵0,解得1SW2+右,C/・・・实数加的取值范围是1,丫触类旁通三步解决方程解（或曲线公共点）的个数问题第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与兀