2018版高中数学人教b版选修2-2学案：1.1.1函数的平均变化率

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1、导数及其应用•1导数1.1.1函数的平均变化率【明目标、知重点】1.理解并掌握平均变化率的概念2会求函数在指定区间上的平均变化率3能利用平均变化率解决或说明生活屮的一些实际问题.填要点•记疑点1.函数的平均变化率已知函数y=J{x）,x（）,X］是英定义域内不同的两点，iEAx=x1—xp,Ay=p~yo=/（xi）—心））=仇+心）一仇）,则当AxHO时，商兀x°+黑金。）=誓叫做函数y=f{x）在X。到Xo+Ax（或［x（）+/x,间的平均变化率.2.函数尹=/（x）的平均变化率的儿何意义Ax加）一心）X2~X表示函数P=/（X）

2、图彖上过两点（X］,/（X

3、））,（勺，.心2））的割线的斜率.探要点•究所然［情境导学］某市2013年5月30日最高气温是33.4°C，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4°C和18.6°C，短短两天时间，乞温“陡增”14.8°C，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5°C和5月28日最高气温18.6°C进行比较，可以发现二者温差为15.1°C,甚至超过了14.8°C,而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得"缓慢

4、”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？探究点一函数的平均变化率思考1如何用数学反映曲线的“陡峭"程度？答如图，表示/、B之间的曲线和B、C之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化.Axx2~xAx如用比值些宁近似量化3、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在［旳，龙］上的平Xc—Xb均变化率.思考2什么是平均变化率，平均变化率有何作用？答如果问题中的函数关系用y=j{x）表示，那么问题屮的变化率可用式子心》［血）表示,X2~X我们把这个式子称为函数y=f（x）从X!到X2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数

5、在某个范围内变化的快慢.思考3平均变化率有什么几何意义?答设力（“沧】）），风。・心2））是曲线P=/（X）上任意不同的两点，函数尹=心）的平均变化率为割线的斜率.Ay/（兀2）一心1）/（心+心）一/（X

6、）兀2是定义域内不同的两点，因此AxHO,但Ay可正也可负；△尹=心2）—心）是相应Ax=x2—X1的改变量，Ay的值可正可负，也可为零.因此，平均变化率可正可负，也可为零.例1某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.369f2解从出生到第3个月，婴儿体重平

7、均变化率为6・5—3.53-0=1（千克/月）.从第6个月到第12个月，婴儿体重平均变化率为11一&612—62.4=0.4（千克/月）.反思与感悟求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量A^=/(X2)-/(X1).(2)再计算自变量的改变量Ay=X2—X1.⑶得平均变化率詈=性严跟踪训练1如图是函数y=Ax)的图象，贝IJ：⑴函数.心)在区间［—1,1］上的平均变化率为(2)函数./W在区间［0,2］上的平均变化率为.答案(1*(2)

8、解析⑴函数/(X)在区间［一1，1］上的平均变化率为心)一/(一1)2-12・［x+3⑵

9、由函数.心)的图象知，•◎)={2'［x+1,-1W兀W1所以函数./(X)在区间［0,2］上的平均变化率为笃［們=才=弓探究点二求前数的平均变化率例2己知函数Ax)=x2,分别计算./W在下列区间上的平均变化率:(1)［1,3］；⑵［1,2］；(3)［1,1.1］;(4)［1,1.001］,解⑴函数/⑴在［1,3］上的平均变化率为⑵函数/(x)在［1,2］上的平均变化率为(3)函数/(x)在［1,1.1］上的平均变化率为./(1.1)-/(!)1.12-!21.1-1_0.1_2*1;▼4丄I亠亠八亠，/(1・°01)—/(I)1.0

10、012-12⑷函数.心)在［1,1.001］上的平均变化率为八］00(_［丿=000］=2.001.反思与感悟函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量心取值越小,越能准确体现函数的变化情况.跟踪训练2求函数尹=/在x=l,2,3附近的平均变化率,判断哪一点附近平均变化率最大?解在x=l附近的平均变化率为廿心埠匕化冲斗2+gAxAx在x=2附近的平均变化率为_./(2+心)—/(2)(2+3—2?AxAx在x=3附近的平均变化率为冏4±4=吐更二+3AxAx—Av—A—4十△¥；对任意Ax有,ki

11、=3附近的平均变化率最大.思考一次函数y=kx+b（k^O）在区间［加，川上的平均变化率有什么特点？答根据函数平均变化率的几何意义，一次函数图象上任意两点连线的斜率是定值匕即一次函数的平均变化率是定值.探究