2016年韦达定理

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1、实用韦达定理【学习目标】1、经历探索一元二次方程的根与系数关系的过程，进一步理解并掌握一元二次方程根与系数的关系；2、会根据条件和根与系数的关系式，不解方程确定相关的方程和未知的系数值；3、会计算一元二次方程两个根的倒数、平方和以及其它有关代数式的值。【学习要点】不解方程确定相关的方程和未知的系数值。一、学习准备：1、已知：一元二次方程x2－2x－3=0的两根为x1、x2，则x1=_____，x2=_____；x1+x2=____，x1x2=____。2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为：x1=____；x2=____；x1+x2=____；x1x2=____。由上

2、可知一元二次方程的根与系数有如下关系：（又称韦达定理）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2，那么X1+x2=–,x1x2=,必要条件二、典例示范：3、已知方程的一个根，求另一个根及未知系数例1已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。法一：设另一根为x1，由韦达定理可建立关于x1和k的方程组，解之即得。解：设方程的另一个根是，由韦达定理得：文档实用答：方程的另一个根是______，K的值是_____法二：把x=2代入原方程，先求出k的值，再求另一个根，试一试吧!比较一下答案相同吗？即时练习1：（1）已知方程3x2-19x+m=0的一

3、个根是1，求它的另一个根及m的值。（2）如果2+是方程x2-4x+C=0的一个根，求它的另一个根及C的值。4、整体代换，求与x1、x2有关的代数式的值例2已知方程2x2+3x-1=0的两根为x1、x2，不解方程，求下列各式的值：韦达定理涉及x1+x2，x1x2，求值又为x12+x22；(x1+2)(x2+2)，均为一元对称式，变形式均涉及完全平方公式。（1）x12+x22(2)(3)(x1+2)(x2+2)解：由韦达定理得：（1）（x1+x2）2=x12+2x1x2+x22∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=___________=___________文档实用(2)==_

4、__________=__________(3)(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=__________=_________即时练习2：设x1、x2是方程2x2-6x+3=0的两个根，求下列各式的值：（1）x12x2+x1x22(2)(x1-x2)2(3)(x1+)(x2+)(4)文档实用5、已知两根，求方程（或已知两数之和与积，求这两个数）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1、x2，那么：x1+x2=－px1x2=q即：p=－(x1+x2)q=x1x2则方程x2+px+q=0就是：x2－(x1+x2)+x1x2=0小结：以两个数x1、x2为根的一元二次方程是

5、x2-(x1+x2)+x1x2=0例3（1）求一个一元二次方程，使它的两个根是—3，2（2）已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数。解：（1）所求的方程是：x2—（—3+2）x+（—3）×2=0化简，得：__________________________,即：__________________________(2)根据韦达定理得，所求的两数是方程：x2—8x+9=0的两个根。解这个方程，得：X1=__________,X2=__________∴所求的两个数是___________和____________即时练习3：（1）求一个一元二次方程，使它的两个根分别为4和—7文档实用

6、（2）已知两个数的和等于—6，积等于2，求这两个数。（3）已知：是两个不相等的实数，且满足，那么求的值。【达标检测】1、若关于x的方程x2—x+c=0的一个根为，则c的值为___________。2、若关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为1和2，则b=____,c=____文档实用3、阅读材料：设一元二次方程如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2，则两根与方程之间有如下关系:X1+x2=－x1x2=根据材料填空：已知x1,x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则：的值为____________4、已知x1、x2是方程2x2—2x+1—3m=0的

7、两个实数根，且x1x2+2(x1+x2)＞0，那么实数m的取值范围是____________5、若关于x的方程2x2—2x+3m—1=0有两个实数根x1、x2，且x1x2＞x1+x2—4,则实数m的取值范围是（）Am＞—Bm≤Cm＜—D—＜m≤6、设x1、x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1x2+1是关于x的方程x2+px+q=0的两根，则p、q的值分别等于（）ABC5D27、已知关于x的方程kx2—2(k+1)x+k—1=0有