韦达定理的应用

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1、根的判别式与韦达定理模块一根的判别式1、定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到，显然只有当时，才能直接开平方得：．注：一元二次方程只有当系数、、满足条件时才有实数根．这里叫做一元二次方程根的判别式．2、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程的根由其系数、、确定，它的根的情况（是否有实数根）由确定．设一元二次方程为，其根的判别式为：则①方程有两个不相等的实数根．②方程有两个相等的实数根．③方程没有实数根．练习：运用判别式，判定方程实数根的个数【例1】不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）；（2）（）【巩固】不解方程，判别一元二

2、次方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．无法确定7【巩固】不解方程判定下列方程根的情况：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）【例1】已知，，是不全为0的3个实数，那么关于的一元二次方程的根的情况（）．A．有2个负根B．有2个正根C．有2个异号的实根D．无实根利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围【例2】取什么值时，关于的方程有两个相等的实数根【巩固】如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（）A．B．C．D．【巩固】方程有两个不

3、相等的实数根，则的取值范围是【巩固】若关于的二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是【巩固】若关于的一元二次方程有实数根，则的最小整数值为【巩固】已知方程有实数根，求的范围．7【例1】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．【巩固】关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（）【巩固】已知关于的方程有两个不相等的实数根，化简：【巩固】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．【巩固】为何值时，方程有实数根．【例2】关于的方程有实数根，则整数的最大值是．【巩固】若方程有实数根，求：正整数．【例3】已

4、知关于的方程有两个相等的实数根，且、为实数，则________．【巩固】当为何值时，方程有实根？【例4】已知，，为正数，若二次方程有两个实数根，那么方程的根的情况是（）A．有两个不相等的正实数根B．有两个异号的实数根C．有两个不相等的负实数根D．不一定有实数根7【巩固】若方程只有一个实数根，那么方程（）．A．没有实数根B．有2个不同的实数根C．有2个相等的实数根D．实数根的个数不能确定通过判别式，证明与方程相关的代数问题【例1】对任意实数，求证：关于的方程无实数根．【巩固】求证：关于的一元二次方程有两个实数根．【巩固】已知实数、、、

5、、满足，，求证：一元二次方程必有实根．【巩固】证明：无论实数、取何值时，方程都有实数根【巩固】已知：方程没有实数根，且，求证：有两个实数根．模块二韦达定理如果的两根是，，则，．（隐含的条件：）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，．利用韦达定理求代数式的值7【例1】不解方程，求两根之和与两根之积【巩固】设方程的两个根为、，不解方程求下列各式的值（1）；（2）；（3）【巩固】已知方程的两个根为、（1）；（2）；（3）；（4）【巩固】已知、是方程的两根，求的值．利用韦达定理求参数的值【例10】方程有两个不相等

6、的实数根，则的取值范围是【例11】若、是方程的两个根，则【巩固】若方程的一个根为，则它的另一根等于，等于【巩固】关于的方程的一个根为，则另一个根是，【巩固】方程的两个根之比为，则【巩固】已知是方程的一个根，求另一个根和的值【例12】已知方程的两个根的平方和是，求的值。【巩固】已知关于的方程有两个不相等的实根、，且，求的值7【巩固】设、是方程的两个不同的实根，且，则的值是＿＿＿＿．【巩固】已知关于的方程有两个不相等的实数根、（1）求的取值范围。（2）是否存在实数，使方程的实数根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由【例

7、13】是否存在常数，使关于的方程的两个实数根、，满足，如果存在，试求出所有满足条件的值；如果不存在在，请说明理由利用韦达定理构造一元二次方程【例14】已知两个数的和为，积为，求这两个数【巩固】以和为根，二次项系数为的一元二次方程为【巩固】求作一个一元二次方程，使它的两根分别是各根的负倒数若方程的一个根是另一个根的倍，则、、的关系是（）A.B.C.D.【例15】方程没有实数根，那么的最小正整数值是【例16】一元二次方程中，，，，且7，则两个根的符号（）A.同为正B.同为负C.一正一负D.同号【例17】如果方程的两个根的平方和等于，那么

8、【例18】若一元二次方程有两个相等的实数根，则【例19】已知实数和满足和，求的值【例20】已知、、是三角形的三边长，求证：没有实数根课后练习：1、关于的二次方程有两个实数根，求的取值范围2、已知方程的两个实数根是、，同时方程的两实数根