浙江高考数学总复习第八章专题探究课四高考中立体几何问题的热点题型课时作业

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1、专题探究课四高考中立体几何问题的热点题型(建议用时：80分钟)1.(2017·金华质检)在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图.(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.(1)证明　∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.(2)解　过点B在平面BCD内作BE⊥BD，如图.由(1)知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.以B为

2、坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M，则＝(1，1，0)，＝，＝(0，1，－1).设平面MBC的法向量为n＝(x0，y0，z0)，则即取z0＝1，得平面MBC的一个法向量为n＝(1，－1，1).设直线AD与平面MBC所成角为θ，则sinθ＝

3、cos〈n，〉

4、＝＝，即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为.2.(2017·浙江三市十二校联考)如图，三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝3，∠ACB＝.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD＝DE＝-7-，CE＝2EB＝

5、2.(1)证明：DE⊥平面PCD；(2)求二面角A－PD－C的余弦值.(1)证明　由PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，故PC⊥DE.由CE＝2，CD＝DE＝得△CDE为等腰直角三角形，故CD⊥DE.由PC∩CD＝C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE⊥平面PCD.(2)解　由(1)知，△CDE为等腰直角三角形，∠DCE＝，如图，过D作DF垂直CE于F，易知DF＝FC＝FE＝1，又已知EB＝1，故FB＝2.由∠ACB＝，得DF∥AC，∴＝＝，故AC＝DF＝.以C为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，P(0，0，3)，A，E(0

6、，2，0)，D(1，1，0)，＝(1，－1，0)，＝(－1，－1，3)，＝.设平面PAD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由n1·＝0，n1·＝0，得故可取n1＝(2，1，1).由(1)可知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取为，即n2＝(1，－1，0).从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝＝，故所求二面角A－PD－C的余弦值为.3.(2017·丽水月考)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝4，BC＝2.BD⊥AC，垂足为D，E为棱BB1上一点，BD∥平面AC1E.(1)求线段B1E的长；(2)求二面角C1－AC－E的余弦值.解　(

7、1)由AB＝AC＝4，知△ABC为等腰三角形，-7-又BD⊥AC，BC＝2，故·AC·BD＝·BC·，解得BD＝.从而在Rt△CDB中，CD＝＝1，故AD＝AC－CD＝3.如图，过点D作DF∥CC1，交AC1于F，连接EF.因为DF∥CC1，从而＝＝，得DF＝3.因为DF∥CC1，CC1∥BB1，故DF∥BB1，即DF∥BE，故DF与BE确定平面BDFE.又BD∥平面AC1E，而平面BDFE∩平面AC1E＝EF，故BD∥EF.故四边形BDFE为平行四边形，从而DF＝BE＝3，所以B1E＝BB1－BE＝1.(2)如图，以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标

8、系，则D(0，0，0)，C(－1，0，0)，E(0，，3)，＝(－1，0，0)，＝(0，，3).设平面ACE的一个法向量为n1＝(x，y，z)，由n1·＝0，n1·＝0，得故可取n1＝(0，3，－).又平面ACC1在xDz面上，故可取n2＝(0，1，0)为平面ACC1的一个法向量.从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝＝.由图知二面角C1－AC－E为锐角，故二面角C1－AC－E的余弦值为.4.(2017·郑州模拟)等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别是边AB，AC上的点，且满足＝＝，如图1.将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1－DE－B为直二面角，连

9、接A1B，A1C，如图2.(1)求证：A1D⊥平面BCED；(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由.-7-(1)证明　因为等边三角形ABC的边长为3，且＝＝，所以AD＝1，AE＝2.在△ADE中，∠DAE＝60°，由余弦定理得DE＝＝.从而AD2＋DE2＝AE2，所以AD⊥DE.折起后有A1D⊥DE，因为二面角A1－DE－B是直二面角，所以平