2019_2020学年高中数学课时分层作业2基本不等式（含解析）新人教B版

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1、课时分层作业(二)　基本不等式(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．设a>0，b>0，且a＋b≤4，则有(　　)A.≥　　　B.＋≥1C.≥2D.≤[解析]　4≥a＋b≥2，∴≤2，∴≥，＋≥2≥1.[答案]　B2．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为(　　)A．2B.　　　C．1　　　D.[解析]　因为x，y∈R，a＞1，b＞1，且ax＝by＝3，a＋b＝2，所以x＝loga3，y＝logb3，＋＝＋＝log3a＋log3b＝log3(ab)，由均值定理，ab

2、≤＝3，故＋＝＋＝log3a＋log3b＝log3(ab)≤log33＝1.[答案]　C3．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)A．8B．4C．1D.[解析]　由题意，知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，故a＋b＝1.因为a＞0，b＞0，所以＋＝·(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立．[答案]　B4．已知m＝a＋＋1(a＞0)，n＝3x(x＜1)，则m，n之间的大小关系是(　　)A．m＞nB．m＜nC．m＝nD．m≤n[解析]　因为a＞0，所以m＝a＋＋1≥2＋

3、1＝3，当且仅当a＝1时，等号成立．又因为x＜1，所以n＝3x＜31＝3，所以m＞n.[答案]　A5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)A．60件B．80件C．100件D．120件[解析]　每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓储费用是元，则＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时“＝”成立，∴每批应生产产品80件，故选B.[答案]

4、　B二、填空题6．已知x＜，则函数y＝4x＋的最大值为________．[解析]　因为x＜，所以4x－5＜0，所以5－4x＞0.所以y＝4x＋＝(4x－5)＋＋5＝－＋5≤－2＋5＝3，当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故当x＝1时，y取最大值，即ymax＝3.[答案]　37．设点P(x，y)在直线x＋y＝1位于第一象限内的图象上运动，则log2x＋log2y的最大值是________．[解析]　要求log2x＋log2y的最大值，即求log2(xy)的最大值，应先求xy的最大值．显然当x＝y＝时，xy

5、的最大值为，故log2x＋log2y的最大值为－2.[答案]　－28．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则＋的最小值为________．[解析]　因为y＝loga(x＋3)－1恒过点(－2，－1)，所以A(－2，－1)．因为A在直线上，所以－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1.又因为mn＞0，所以m＞0，n＞0.又因为＋＝＋＝2＋＋2＋≥4＋2＝8，当n＝，m＝时，等号成立，所以＋的最小值为8.[答案]　8三、解答题9．已知a，b都是

6、正数，且a＋b＝1，(1)求证：＋≥4；(2)求＋的最小值．[解]　(1)证明：＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4.(2)＋≥2·，即＋2≥.又∵≥得0＜ab≤，即≥4，∴1＋≥5，∴＋≥，当且仅当a＝b＝上式等号成立．10.如图所示，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏目的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？[解]　设广告的高和宽分别为xcm，ycm，则每栏

7、的高和宽分别为x－20，.其中x>20，y>25.两栏面积之和为2(x－20)＝18000，由此得y＝＋25，广告的面积S＝xy＝x＝＋25x，整理得S＝＋25(x－20)＋18500.因为x－20>0，所以S≥2＋18500＝24500.当且仅当＝25(x－20)时等号成立，此时有(x－20)2＝14400(x>20)，解得x＝140，代入y＝＋25，得y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小．[能力提升练]1．已知a＞0

8、，b＞0，则＋＋2的最小值是(　　)A．2B．2C．4D．5[解析]　＋＋2＝＋2，因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立．所以＋2≥＋2＝2≥2×2＝4，当且仅当＝时，等号成立．综上所述，a＝b＝1时，取等号．[答案]　C2．如果圆柱的轴截面周长l为定值，那么圆柱的体积最大值是(　　)A.πB.πC.πD.π[解析]　l＝4r＋2h，即2r＋h＝，V＝πr2h