2019-2020年高考数学二轮复习规范答题示例8直线与圆锥曲线的位置关系理

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1、2019-2020年高考数学二轮复习规范答题示例8直线与圆锥曲线的位置关系理典例8 (12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.①求的值;②求△ABQ面积的最大值.审题路线图 (1)―→(2)①―→②―→―→规范解答·分步得分构建答题模板解 (1)由题意知+=1.又=,解得a2=4,b2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.2分(2)由(1)知椭圆E的方程为+=1.①设P(x0,y

2、0),=λ,由题意知Q(-λx0,-λy0).因为+y=1,又+=1,即=1,所以λ=2,即=2.5分②设A(x1,y1),B(x2,y2).第一步求圆锥曲线方程:根据基本量法确定圆锥曲线的方程.第二步联立消元:将直线方程和圆锥曲线方程联立得到方程:Ax2+Bx+C=0,然后研究判别式,利用根与系数的关系.第三步找关系:从题设中寻求变量的等量或不等关系.将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由Δ>0,可得m2<4+16k2,(*)则x1+x2=-,x1x2=.所以

3、x1-x2

4、=.因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(

5、0,m),所以△OAB的面积S=

6、m

7、

8、x1-x2

9、===2.8分设=t,将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由Δ≥0,可得m2≤1+4k2.(**)由(*)(**)可知0<t≤1,因此S=2=2,故0

10、求a2-c2=b2关系式直接得b=1,扣1分;(2)第(2)问中,求时,给出P,Q的坐标关系给1分;无“Δ>0”和“Δ≥0”者,每处扣1分;联立方程消元得出关于x的一元二次方程给1分;根与系数的关系写出后再给1分;求最值时,不指明最值取得的条件扣1分.跟踪演练8 (xx·全国Ⅰ)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.(1)解 由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知椭圆C经过P

11、3,P4两点.又由+>+知,椭圆C不经过点P1,所以点P2在椭圆C上.因此解得故椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明 设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t≠0,且

12、t

13、<2,可得A,B的坐标分别为,,则k1+k2=-=-1,得t=2,不符合题设.从而可设l:y=kx+m(m≠1).将y=kx+m代入+y2=1,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.而k1+k2=+=+=.由题设k1+k2=-1

14、,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1)·+(m-1)·=0,解得k=-.当且仅当m>-1时,Δ>0,于是l:y=-x+m,即y+1=-(x-2),所以l过定点(2,-1).

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