2020版高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理和余弦定理讲义 理（含解析）

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1、第6讲　正弦定理和余弦定理1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆的半径，则2.在△ABC中，已知a，b和A时，三角形解的情况3.三角形中常用的面积公式(1)S＝ah(h表示边a上的高)．(2)S＝bcsinA＝acsinB＝absinC.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．1.概念辨析(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立．(　　)(2)在△ABC中，若sinA>sinB，则A>B.(　　)(3)在△ABC的六个元素中，已知

2、任意三个元素可求其他元素．(　　)(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．(　　)答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2.小题热身(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝(　　)A.B.C．2D．3答案　D解析　由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.(2)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝＝，则该三角形的形状是(　　)A.直角

3、三角形B．等腰三角形C.等边三角形D．钝角三角形答案　A解析　因为＝，由正弦定理得＝，所以sin2A＝sin2B.由＝，可知a≠b，所以A≠B.又A，B∈(0，π)，所以2A＝180°－2B，即A＋B＝90°，所以C＝90°，于是△ABC是直角三角形．(3)在△ABC中，a＝3，b＝2，cosC＝，则△ABC的面积为________．答案　4解析　∵cosC＝，0

4、1解析　因为a＝4，b＝5，c＝6，所以cosA＝＝＝，所以＝＝＝＝1.题型　利用正、余弦定理解三角形角度1　用正弦定理解三角形　　　　　　　　　　　　　　1.(1)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sinB＝，C＝，则b＝________；(2)(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.答案　(1)1　(2)75°解析　(1)因为sinB＝且B∈(0，π)，所以B＝或B＝，又C＝，所以B＝，A＝

5、π－B－C＝，又a＝，由正弦定理得＝，即＝，解得b＝1.(2)如图，由正弦定理，得＝，∴sinB＝.又c＞b，∴B＝45°，∴A＝180°－60°－45°＝75°.角度2　用余弦定理解三角形2.(1)在△ABC中，若b＝1，c＝，A＝，则cos5B＝(　　)A.－B.C.或－1D．－或0(2)在△ABC中，AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为(　　)A.B.C.D．3答案　(1)A　(2)B解析　(1)因为b＝1，c＝，A＝，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋3－2×1××

6、＝1，所以a＝1.由a＝b＝1，得B＝A＝，所以cos5B＝cos＝－cos＝－.(2)由题意得cosA＝＝＝，∴sinA＝＝，∴边AC上的高h＝ABsinA＝.角度3　综合利用正、余弦定理解三角形3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC－c＝2b.(1)求角A的大小；(2)若c＝，角B的平分线BD＝，求a.解　(1)∵2acosC－c＝2b，由正弦定理得2sinAcosC－sinC＝2sinB,2sinAcosC－sinC＝2sin(A＋C)＝2sinAcosC＋2co

7、sAsinC，∴－sinC＝2cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA＝－，又A∈(0，π)，∴A＝.(2)在△ABD中，由正弦定理得，＝，∴sin∠ADB＝＝.又∠ADB∈(0，π)，A＝，∴∠ADB＝，∴∠ABC＝，∠ACB＝，AC＝AB＝，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝()2＋()2－2××cos＝6，∴a＝.用正弦、余弦定理解三角形的基本题型及解题方法(1)已知两角和一边①用三角形内角和定理求第三个角．②用正弦定理求另外两条边．(2)已知两边及其中一边所对的

8、角①用正弦定理(适用于优先求角的题)以知a，b，A解三角形为例：a．根据正弦定理，经讨论求B；b．求出B后，由A＋B＋C＝180°，求出C；c．再根据正弦定理＝，求出边c.②用余弦定理(适用于优先求边的题)以知a，b，A解三角形为例：列出以边c为元的一元二次方程c2－(2bcosA)c＋(b2－a2)＝0，根据一元二次方程的解法，求边c，然后应用正弦定理或余弦定理，求出B，C.(3)已知两边和它们的夹角①用余弦定理求第三边．②用余弦定理的变形或正弦定理求