2020版高考数学一轮复习 第11章 算法复数推理与证明 第2讲 数系的扩充与复数的引入讲义 理（含解析）

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1、第2讲　数系的扩充与复数的引入[考纲解读]　1.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件．(重点)2.了解复数的代数表示法及几何意义，能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示．3.能进行复数形式的四则运算，并了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(重点、难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲在高考中属于必考内容.预测2020年将会考查：①复数的基本概念与四则运算；②复数模的计算；③复数的几何意义.题型为客观题，难度一般不大，属于基础题型.1．复数的有关概念2．复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C

2、与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.3．复数代数形式的四则运算(1)运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．(3)复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2＝z2·z1，(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)，z1(z2＋

3、z3)＝z1z2＋z1z3.(4)复数加、减法的几何意义①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1＋z2是＋所对应的复数．②复数减法的几何意义：复数z1－z2是－即所对应的复数．4．模的运算性质：①

4、z

5、2＝

6、

7、2＝z·；②

8、z1·z2

9、＝

10、z1

11、

12、z2

13、；③＝.1．概念辨析(1)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)一定有两个根．(　　)(2)若复数a＋bi中a＝0，则此复数必是纯虚数．(　　)(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(　　)(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　)

14、答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．小题热身(1)(2017·全国卷Ⅱ)＝(　　)A．1＋2iB．1－2iC．2＋iD．2－i答案　D解析　＝＝＝2－i.故选D.(2)(2018·北京高考)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案　D解析　设复数z＝＝＝＝＝＋i，所以z的共轭复数＝－i，对应的点为，位于第四象限．(3)(2018·华南师大附中一模)在复平面内，复数z＝cos3＋isin3(i为虚数单位)，则

15、z

16、为(　　)A．4B．3C．2D．1答案　D解析　

17、z

18、＝＝1.(4)设复数z1＝2－i，z2＝a＋2i(i为虚数

19、单位，a∈R)，若z1z2∈R，则a＝________.答案　4解析　因为z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝2a＋2＋(4－a)i，且z1z2是实数，所以4－a＝0即a＝4.题型　复数的有关概念1．设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝(　　)A．－1B．1C．－2D．2答案　C解析　因为m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，所以解得m＝－2.2．若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于(　　)A．3，－2B．3,2C．3，－3D．－1,4答案　A解析　因为(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，所以a＝3

20、，b＝－2.3．(2018·合肥一检)设i为虚数单位，复数z＝的虚部是(　　)A.B．－C．1D．－1答案　B解析　复数z＝＝＝－i，则z的虚部为－.4．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则

21、z

22、＝(　　)A．0B.C．1D.答案　C解析　因为z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，所以

23、z

24、＝＝1，故选C.有关处理复数基本概念问题的关键因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实部与虚部有关，所以处理复数有关基本概念问题的关键是找准复数的实部和虚部，即转化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理.1．(2019·安徽安庆模拟)设i是虚数单位，如果复数的实部与

25、虚部相等，那么实数a的值为(　　)A.B．－C．3D．－3答案　C解析　＝，由题意知2a－1＝a＋2，解得a＝3.故选C.2．已知集合A＝N，B＝{x∈R

26、z＝3＋xi，且

27、z

28、＝5}(i为虚数单位)，则A∩B＝________.答案　{4}解析　因为

29、z

30、＝＝5，所以x＝±4，所以B＝{－4,4}，所以A∩B＝{4}．3．(2017·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2