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《2019届高三数学 备考冲刺140分 问题34 椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合问题（含解析）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、问题34椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合问题一、考情分析通过近几年各地高考试题可以发现,对圆的考查在逐渐加深,并与圆锥曲线相结合在一起命题,成为一个新的动向.与圆相关几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线想结合可以呈现别具一格的新颖试题.二、经验分享1.对于圆与圆锥曲线的相交问题，设出交点，由交点(或韦达定理)结合条件解决问题，在求解过程中、数形结合是常用的打开思路的方式、形是引路、数是依据、二者联手，解决问题就易如反掌、设面不求、灵活消参是常用的策略。2.垂直问题的呈现有多种形式，处理重直问题最好的方法是应用向量的坐标形式转化，常规的思路是:联立方程组消
2、去成y,得到一个二次方程，设交点，韦达定理代人垂直的数量积坐标公式整理求解。3.涉及弦长要注意圆的几何性质的应用。三、知识拓展以MN为直径的圆经过点P，则，可转化为四、题型分析(一)圆与椭圆的结合点1.1圆的几何性质与椭圆相联系【例1】【2017届湖南师大附中高三上学期月考四】已知椭圆的中心在原点,离心率为,其右焦点是圆：的圆心．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图,过椭圆上且位于轴左侧的一点作圆的两条切线,分别交轴于点、．试推断是否存在点,使？若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】(1)由已知条件分别求出的值,而,代入求出椭圆的方程；(2)假设存在点满足题意
3、,设点（）,,,利用条件求出直线方程,根据圆心到直线的距离为,求出与点坐标之间的关系,同理求出与点坐标之间的关系,利用韦达定理求出的表达式,算出,求出点坐标.【解析】（1）设椭圆方程,半焦距为,因为椭圆的右焦点是圆的圆心,则,因为椭圆的离心率为,则,即,从而,故椭圆的方程为．（2）设点（）,,,则直线的方程为,即,因为圆心到直线的距离为1,即,即,即,同理．由此可知,,为方程的两个实根,所以,,．因为点在椭圆上,则,即,则,令,则,因为,则,,即,故存在点满足题设条件．【点评】(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切
4、线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题．【小试牛刀】已知椭圆的离心率为,其左顶点在圆上.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点为椭圆上不同于点的点,直线与圆的另一个交点为,是否存在点,使得？若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由.【答案】（I）；（II）不存在,理由见解析.【解析】（I）因为椭圆的左顶点在圆上,令,得,所以.又离心率为,所以,所以,所以.所以的方程为.（II）设点,,设直线的方程为,与椭圆方程联立得,化简得到,因为-4为方程的一个根,所以,所以所以因为圆心到直线的距离为,所以.因为,代入得到,显然,所以不存在直线,使得.1.2利用椭圆的
5、性质判断直线与圆的位置关系【例2】已知椭圆：.（1）求椭圆的离心率；（2）设为原点,若点在椭圆上,点在直线上,且,试判断直线与圆的位置关系,并证明你的结论.【分析】（1）把椭圆：化为标准方程,确定,,利用求得离心率；（2）设点,,其中,由,即,用、表示,当或分别根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,与圆的半径比较,从而判断直线与圆的位置关系.【解析】（1）由题意椭圆的标准方程为,所以,,从而,所以.（2）直线与圆相切,证明如下：设点,,其中,因为,所以,即,解得,当时,,代入椭圆的方程得,此时直线与圆相切.当时,直线的方程为,即,圆心到直线的距离为,又,,故.故此直
6、线与圆相切.【小试牛刀】已知椭圆过点,且离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设直线交椭圆于,两点,判断点与以线段为直径的圆的位置关系,并说明理由．【解析】解法一：（1）由已知得,解得,所以椭圆的方程为．（2）设点,,的中点为．由,得,所以,,从而,所以,,故,所以．故点在以为直径的圆外．解法二：（1）同解法一．（2）设点,,则,．由,得,所以,,从而,所以．又,不共线,所以为锐角．故点在以为直径的圆外．(二)圆与双曲线的结合点2.1利用圆的性质解决双曲线的相关问题由于双曲线具有渐近线,故渐近线与圆的位置关系便成为命题的常考点.圆本身所具有的几何性质在探索等量关系也经常考查,
7、进而求解双曲线的几何性质,如离心率的求解.【例3】【黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟】已知半圆：，、分别为半圆与轴的左、右交点，直线过点且与轴垂直，点在直线上，纵坐标为，若在半圆上存在点使，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在Rt△PBT中，
8、BT
9、
10、PB
11、
12、t
13、，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析
14、BT
15、的最值，即可得t的范围，综合可得答案．【解析】根据题意，设PQ与x轴交于点T，则
16、PB
17、＝
18、t
19、，由于BP与x轴垂直，且∠BPQ，则在Rt△PB
