椭圆难题(包括答案)

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1、.关于焦点三角形与焦点弦（1）椭圆上一点与两个焦点所构成的称为焦点三角形。设，则有：P①，当（即为短轴顶点）时，最大，此时②的面积当（即为短轴顶点）时，最大，且③AB（2）经过焦点或的椭圆的弦，称为焦点弦。设，的中点为，则弦长（左焦点取“+”，右焦点取“-”）当轴时，最短，且关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法1联立方程法：联立直线和椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程，设交点坐标为，则有，以及，还可进一步求出。在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法2点差法：设交点坐标为代入椭圆方程，

2、并将两式相减，可得，在涉及斜率、中点、范围等问题时，常用此法典例剖析..1求椭圆的标准方程【例2】设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点作的垂线分别交椭圆于，交轴于，且（1）求椭圆的离心率。（2）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程。【解】（1）由已知可得：由可得：，将点坐标代入椭圆方程可得：。即（2）由（1）得：，圆心为，半径于是有：(圆心到直线距离)，所以。故椭圆方程为：【例4】已知椭圆的中心在原点，短轴长为，右准线交轴于点，右焦点为，且，过点的直线交椭圆于两点（1）求椭圆的方程（2）若，求直线的

3、方程（4）求的最大面积【解】（1）椭圆方程为：（2）设直线的方程为：，且设..联立消去，得：则从而求得：由得：，求得所以的方程为：（4）由（1）得：令，则当且仅当，即时，取“”所以的最大面积为2椭圆的性质【例6】已知椭圆的两个焦点分别为，，在椭圆上存在一点，使得（1）求椭圆离心率的取值范围（2）当离心率取最小值时，的面积为，设是椭圆上两动点，若线段的垂直平分线恒过定点。①求椭圆的方程；②求直线的斜率的取值范围。..【解】（1）设椭圆短轴的端点为B,由已知及椭圆的性质得：所以，从而，即，又，所以，得：

4、，所以。（2）①当取得最小值时，在短轴顶点，所以，又，故求得：。所以椭圆方程为：设，设直线的方程为，的垂直平分线方程为：联立消去得：则有即①又有:从而所以的中点为。又在的垂直平分线上，所以，即②将②代人①求得：求取值范围问题通常要建立不等式，关于不等式的来源有以下几种情况：..（1）已知不等式；（2）椭圆上的点的横坐标满足；（3）；（4）椭圆内部的点满足；【例7】椭圆的中心在原点，焦点在轴上，斜率为的直线过椭圆的右焦点与椭圆交于两点，与向量共线。（1）求椭圆的离心率（2）设为椭圆上任一点，若，求证：

5、为定值【解】（1）设椭圆方程为，设，，由已知：直线AB的方程为：，代入椭圆方程，得：，由韦达定理得：，易知：因为与向量共线，所以，而，所以，即，于是有：又，所以，故有：。（2）由（1）得：，，所以椭圆方程为：，..即，直线AB的方程为：，于是有：，，从而，。于是。设，由已知：，将M的坐标代入椭圆方程得：，即，于是有：。故为定值。【例8】已知为椭圆上一动点，弦分别过焦点，当轴时，恰有.（1）椭圆的离心率（2）设，，判断是否为定值？【解】（1）当轴时，，从而依定义有，所以而，所以，即。（2）由（1）可知

6、椭圆方程为：，设..①若的斜率都存在，则直线的方程为代入椭圆方程，并整理得：由韦达定理有由已知：；同理可得：所以②若有一个斜率不存在，不妨设轴则所以综上所述为定值。3.最值问题【例11】已知椭圆，是垂直于轴的弦，直线交轴于点，为椭圆的右焦点，直线与交于点（1）证明：点在椭圆上（2）求面积的最大值【解】（1）由已知。设，则且，与的方程分别为：联立两直线的方程求得：即因为..，所以点在椭圆上（2）设直线的方程为（过焦点）且联立则由：所以所以令，函数递增，所以当时，取得最小值，故当时，取得最大值【例14】

7、已知椭圆的左，右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点（1）求的面积的最大值（2）当的面积最大值时，求的值【解】（1）由已知得：设直线的方程为，且设联立则有：..由已知可得：令易证函数在上递增（**），所以当时，取得最小值，故当时，取得最小值，故的最大值为。（2）当最大值时，，从而，而所以4直线与椭圆的位置关系【例16】已知是椭圆的左，右焦点，直线与椭圆相切。（1）分别过作切线的垂线，垂足分别为，求的值（3）设直线与轴，轴分别交于两点，求的最小值。【解】（1）设直线的方程为，由已知:，。所以；。于是。联

8、立，消去y，的：。..因为直线与椭圆相切，所以。所以为定值。（2）易知：，。所以。当且仅当，即时取等号。所以。【例17】已知椭圆，过点作直线与椭圆顺次交于两点（在之间）。（1）求的取值范围；（2）是否存在这样的直线，使得以弦为直径的圆经过坐标原点？若存在，求的方程，若不存在，说明理由。【解】（1）方法一：（联立方程法）ⅰ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为且设。联立，消去，并整理得：则有，求得：..又有①②设，则有，即③从①，②，③中消去可得：而，所以。而，故求得：ⅱ