2018-2019学年高中数学 第八章 解三角形 习题课 正弦定理与余弦定理学案 湘教版必修4

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1、习题课　正弦定理与余弦定理[学习目标]　1.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解决各类三角形中的应用.2.提高对正弦、余弦定理应用范围的认识.3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角、向量有关的综合问题.[预习导引]1.三角形内角的函数关系在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，则有(1)sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，tan(A＋B)＝－tanC.(2)sin＝cos，cos＝sin.2.正弦定理及其变形(1)＝＝＝2R.(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.3.余弦定理及其推论(1)a2＝b2＋c2－2bccosA，cos

2、A＝.(2)在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角，c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2

3、1)求A的大小；(2)求的值.解　(1)由已知b2＝ac⇒cosA＝＝＝，∵A∈(0，π)，∴A＝.(2)由b2＝ac，得＝，∴＝sinB·＝sinB·＝sinA＝.要点二　正弦、余弦定理与三角变换的综合例2　在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，4sin2－cos2A＝.(1)求A的度数.(2)若a＝，b＋c＝3，求b和c的值.解　(1)由4sin2－cos2A＝及A＋B＋C＝180°，得2[1－cos(B＋C)]－2cos2A＋1＝，4(1＋cosA)－4cos2A＝5，即4cos2A－4cosA＋1＝0，∴(2cosA－1)2＝0，解得cosA＝.∵0°

4、0°，∴A＝60°.(2)由余弦定理，得cosA＝.∵cosA＝，∴＝，化简并整理，得(b＋c)2－a2＝3bc，所以32－()2＝3bc，即bc＝2.则由解得或规律方法　本题解题关键是通过三角恒等变换借助于A＋B＋C＝180°，求出A，并利用余弦定理列出关于b、c的方程组.跟踪演练2　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2＋c2－b2＝ac.求2sin2＋sin2B的值.解　由已知＝，所以cosB＝，又B∈(0，π)，所以sinB＝＝，所以2sin2＋sin2B＝2cos2＋sin2B＝1＋cosB＋2sinBcosB＝1＋＋2××＝.要点三　正弦、余弦定理与

5、平面向量的综合例3　在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB＝，且·＝－21.(1)求△ABC的面积；(2)若a＝7，求角C.解　(1)∵·＝－21，∴·＝21.∴·＝

6、

7、·

8、

9、·cosB＝accosB＝21.∴ac＝35，∵cosB＝，∴sinB＝.∴S△ABC＝acsinB＝×35×＝14.(2)ac＝35，a＝7，∴c＝5.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB＝32，∴b＝4.由正弦定理：＝.∴sinC＝sinB＝×＝.∵c

10、三角形的边角关系.跟踪演练3　△ABC的三个内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量m＝(a＋b，sinC)，n＝(a＋c，sinB－sinA)，若m∥n，则角B的大小为.答案　150°解析　∵m∥n，∴(a＋b)(sinB－sinA)－sinC(a＋c)＝0，由正弦定理有(a＋b)(b－a)＝c(a＋c)，即a2＋c2－b2＝－ac，再由余弦定理，得cosB＝－，∵B∈(0，π)，∴B＝150°.1.在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则A＝(　　)A.B.C.D.答案　D解析　由正弦定理，得2sinAsinB＝sinB，即sinA＝，因三

11、角形为锐角三角形，所以A＝.2.在△ABC中，若c＝2acosB，则△ABC的形状一定是(　　)A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案　C解析　∵c＝2acosB，由正弦定理得2cosBsinA＝sinC＝sin(A＋B)，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，∴A＝B.3.在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，则·＝.答案　－解析　根据余弦定理，cosA＝＝＝.·＝－·＝－3×2×＝－.4.在△ABC中，co