2018版高中数学 第3章 不等式 3.2 均值不等式学案 新人教B版必修5

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1、3.2　均值不等式1.了解均值不等式的证明过程.2.能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.(重点、难点)3.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题.(重点)[基础·初探]教材整理1　均值不等式阅读教材P69～P71，完成下列问题.1.重要不等式如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”).2.均值不等式≤(1)均值不等式成立的条件：a>0，b>0；(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.3.算术平均数与几何平均数(1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为；(2)均值不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它

2、们的几何平均数.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立.(　　)(2)若a≠0，则a＋≥2＝4.(　　)(3)若a>0，b>0，则ab≤.(　　)(4)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(　　)(5)若ab＝1，a>0，b>0，则a＋b的最小值为2.(　　)【解析】　(1)×.任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2成立.(2)×.只有当a>0时，根据均值不等式，才有不等式a＋≥2＝4成立.(3)√.因为≤，所以ab≤.(4)×.因为不等式a2＋b2≥

3、2ab成立的条件是a，b∈R；而≥成立的条件是a，b均为非负实数.(5)√.因为a>0，b>0，所以a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时取等号，故a＋b的最小值为2.【答案】　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√教材整理2　均值不等式的应用阅读教材P70例1～P71例3，完成下列问题.用均值不等式求最值的规律(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值.(2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值.(　　)(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4.

4、(　　)(3)当x>1时，函数f(x)＝x＋≥2，所以函数f(x)的最小值是2.(　　)(4)如果log3m＋log3n＝4，则m＋n的最小值为9.(　　)(5)若x，y∈R＋，且x＋4y＝1，则xy的最大值为.(　　)【解析】　(1)√.由均值不等式求最值条件可知.(2)√.因为≤＝＝2，所以ab≤4.(3)×.因为当x>1时，x－1>0，则f(x)＝x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3.当且仅当x－1＝，即x＝2时，函数f(x)的取到最小值3.(4)×.因为由log3m＋log3n＝4，得mn＝81且m>0，n>0，而≥＝9，所以m＋n≥18，当且仅当m＝n＝9时

5、，m＋n取到最小值18.(5)√.因为x，y∈R＋，而4xy≤＝＝，所以x·y≤.当且仅当x＝4y，即x＝，y＝时取等号.【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√[小组合作型]利用均值不等式比较代数式的大小　(1)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是______.(2)给出下列命题：①若x∈R，则x＋≥2；②若a＞0，b＞0，则lga＋lgb≥2；③若a＜0，b＜0，则ab＋≥2；④不等式＋≥2成立的条件是x＞0且y＞0.其中正确命题的序号是________.【精彩点拨】　(1)由于p是平方和的形

6、式，而q是a，b，c两两乘积的和，联想均值不等式求解.(2)解本小题关键是弄清均值不等式适用的条件.【自主解答】　(1)∵a，b，c互不相等，∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac.∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac).即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac，亦即p>q.(2)只有当x>0时，才能由均值不等式得到x＋≥2＝2，故①错误；当a>0，b>0时，lga∈R，lgb∈R，不一定有lga>0，lgb>0，故lga＋lgb≥2不一定成立，故②错误；当a<0，b<0时，ab>0，由均值不等式可得ab＋≥2＝2，故③正确；由均值不等式

7、可知，当>0，>0时，有＋≥2＝2成立，这时只需x与y同号即可，故④错误.【答案】　(1)p>q　(2)③1.在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件.2.运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.[再练一题]1.设a>0，b>0，试比较，，，的大小，并说明理由.【导学号：18082044】【解】　∵a>0，b>0，∴＋≥，即≥(当且仅当a＝b时取等号)，又＝≤＝，∴≤(当且仅当a＝b时等号成立)，而≤，故≥≥≥(当且