2019年高考数学 考纲解读与热点难点突破 专题22 不等式选讲教学案 理（含解析）

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1、不等式选讲【2019年高考考纲解读】本部分主要考查绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．【重点、难点剖析】1．含有绝对值的不等式的解法(1)

2、f(x)

3、>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a；(2)

4、f(x)

5、0)⇔－a

6、x－a

7、＋

8、x－b

9、≤c，

10、

11、x－a

12、＋

13、x－b

14、≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质

15、a

16、－

17、b

18、≤

19、a±b

20、≤

21、a

22、＋

23、b

24、.此性质可用来解不等式或证明不等式．3．基本不等式定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立

25、．4．柯西不等式(1)设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则()≥(ibi)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则

26、α

27、·

28、β

29、≥

30、α·β

31、，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．5．绝对值不等式

32、a

33、－

34、b

35、≤

36、a±b

37、≤

38、a

39、＋

40、b

41、.需要灵活地应用．6．不等式的性质，

42、特别是基本不等式链≤≤≤(a>0，b>0)，在不等式的证明和求最值中经常用到．7．证明不等式的传统方法有比较法、综合法、分析法．另外还有拆项法、添项法、换元法、放缩法、反证法、判别式法、数形结合法等.【题型示例】题型一　含绝对值不等式的解法【例1】（2018年全国Ⅱ卷理数）[选修4－5：不等式选讲]设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）,(2)【解析】（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．【变式探究】已知函数f(

43、x)＝

44、x－a

45、，其中a>1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－

46、x－4

47、的解集；(2)已知关于x的不等式

48、f(2x＋a)－2f(x)

49、≤2的解集为{x

50、1≤x≤2}，求a的值．【解析】(1)当a＝2时，f(x)＋

51、x－4

52、＝

53、x－2

54、＋

55、x－4

56、＝当x≤2时，由f(x)≥4－

57、x－4

58、，得－2x＋6≥4，解得x≤1；当2

59、x－4

60、，无解；当x≥4时，由f(x)≥4－

61、x－4

62、，得2x－6≥4，解得x≥5.故不等式的解集为{x

63、x≤1或x≥5}．(2)令h(x)＝f(2x＋

64、a)－2f(x)，则h(x)＝由

65、h(x)

66、≤2，当x≤0或x≥a时，显然不成立．当0

67、4x－2a

68、≤2，解得≤x≤.又知

69、h(x)

70、≤2的解集为{x

71、1≤x≤2}，所以于是a＝3.【感悟提升】(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤①求零点；②划区间、去绝对值符号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．2．用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．3．求解绝对值不等式恒成立问题的解析(

72、1)可利用绝对值不等式的性质求最值或去掉绝对值号转化为分段函数求最值．(2)结合“a≥f(x)恒成立，则a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立，则a≤f(x)min”求字母参数的取值范围．【举一反三】已知关于x的不等式

73、x＋a

74、＜b的解集为{x

75、2＜x＜4}．(1)求实数a，b的值；(2)求＋的最大值．解　(1)由

76、x＋a

77、＜b，得－b－a＜x＜b－a，则解得a＝－3，b＝1.(2)＋＝＋≤＝2＝4，当且仅当＝，即t＝1时等号成立，故(＋)max＝4.【举一反三】已知函数f(x)＝

78、x＋1

79、－2

80、x－a

81、，

82、a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．解　(1)当a＝1时，f(x)>1化为

83、x＋1

84、－2

85、x－1

86、－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－10，解得0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得，f(x)＝所以函数f(x)的