2019高考数学 考点突破——不等式：基本不等式学案

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1、基本不等式【考点梳理】1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号且不为零)；(3)ab≤2(a，b∈R)；(4)2≤(a，b∈R)．3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋

2、y有最小值是2(简记：积定和最小)．(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．【考点突破】考点一、配凑法求最值【例1】(1)若x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．(2)函数y＝的最大值为________.[答案](1)1　(2)[解析](1)因为x＜，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立.故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.(2)令t＝≥0，则x＝t2＋1，所以y＝＝.当t＝

3、0，即x＝1时，y＝0；当t＞0，即x＞1时，y＝，因为t＋≥2＝4(当且仅当t＝2时取等号)，所以y＝≤，即y的最大值为(当t＝2，即x＝5时y取得最大值).【类题通法】1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.【对点训练】1．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值

4、，则a等于(　　)A．1＋B．1＋C．3D．4[答案]C[解析]当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3，选C.2．函数y＝(x>1)的最小值为________.[答案]2＋2[解析]y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立.考点二、常数代换或消元法求最值【例2】(1)已知x，y均为正实数，且＋＝，则x＋y的最小值为(　　)A．24B．32C．20D．28(2)已知x＞0，y

5、＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.[答案](1)C　(2)6[解析](1)∵x，y均为正实数，且＋＝，则x＋y＝(x＋2＋y＋2)－4＝6(x＋2＋y＋2)－4＝6－4≥6×－4＝20，当且仅当x＝y＝10时取等号.∴x＋y的最小值为20.(2)由已知得x＝.法一　(消元法)因为x＞0，y＞0，所以0＜y＜3，所以x＋3y＝＋3y＝＋3(y＋1)－6≥2－6＝6，当且仅当＝3(y＋1)，即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6.法二　∵x＞0，y＞0，9－(x＋3y)＝xy＝x·(

6、3y)≤·，当且仅当x＝3y时等号成立.设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.【类题通法】条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.【对点训练】1．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4

7、y的最小值为________.[答案]5[解析]法一　由x＋3y＝5xy可得＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋＝5(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)，∴3x＋4y的最小值是5.法二　由x＋3y＝5xy，得x＝，∵x>0，y>0，∴y>，∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y＝＋·＋4≥＋2＝5，当且仅当y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.2．已知直线l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2，3)，则a＋b的最小值为________.[答案]5＋2[解析]因为直线l经过点(2，3)，

8、所以2a＋3b－ab＝0，所以b＝>0，所以a－3>0，所以a＋b＝a＋＝a－3＋＋5≥5＋2＝5＋2，当且仅当a－3＝，即a＝3＋，b＝2＋时等号成立.考点三、基本不等式的实际应用【例3】某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂