2019高考数学考点突破——不等式：基本不等式 Word版含解析.pdf

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1、基本不等式【考点梳理】a＋b1．基本不等式ab≤2(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；ba(2)＋≥2(a，b同号且不为零)；aba＋b(3)ab≤2(a，b∈R)；2a＋ba2＋b2(4)2≤(a，b∈R)．223．算术平均数与几何平均数a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：2两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果xy是定值p，那么当且仅

2、当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)．q2(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．4【考点突破】考点一、配凑法求最值51【例1】(1)若x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．44x5x－1(2)函数y＝的最大值为________.x＋3＋x－11[答案](1)1(2)55[解析](1)因为x＜，所以5－4x＞0，4111则f(x)＝4x－2＋＝－5－4x＋＋3≤－2（5－4x）＋34x－55－4x5－4x＝－2＋3＝1.1当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立.5－4x1故f(x)＝4x

3、－2＋的最大值为1.4x－5(2)令t＝x－1≥0，则x＝t2＋1，tt所以y＝＝.t2＋1＋3＋tt2＋t＋4当t＝0，即x＝1时，y＝0；1当t＞0，即x＞1时，y＝，4t＋＋1t4因为t＋≥24＝4(当且仅当t＝2时取等号)，t11所以y＝≤，45t＋＋1t1即y的最大值为5(当t＝2，即x＝5时y取得最大值).【类题通法】1.应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.2.在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的

4、形式，然后再利用基本不等式.【对点训练】11．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于()x－2A．1＋2B．1＋3C．3D．4[答案]C11[解析]当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2（x－2）×＋2＝4，当x－2x－21且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，即a＝3，选C.x－2x2＋22．函数y＝(x>1)的最小值为________.x－1[答案]23＋2x2＋2（x2－2x＋1）＋（2x－2）＋3[解析]y＝＝x－1x－1（x－1）2＋2（x－1）＋3＝x－13＝(x－1)＋＋2≥23＋2.x－13当且仅

5、当x－1＝，即x＝3＋1时，等号成立.x－1考点二、常数代换或消元法求最值111【例2】(1)已知x，y均为正实数，且＋＝，则x＋y的最小值为()x＋2y＋26A．24B．32C．20D．28(2)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.[答案](1)C(2)6111[解析](1)∵x，y均为正实数，且＋＝，x＋2y＋26则x＋y＝(x＋2＋y＋2)－411＝6＋(x＋2＋y＋2)－4x＋2y＋2x＋2y＋2＝62＋＋－4y＋2x＋2x＋2y＋2≥6×2＋2·－4＝20，y＋2x＋2当且仅当x＝y＝10时取

6、等号.∴x＋y的最小值为20.9－3y(2)由已知得x＝.1＋y法一(消元法)因为x＞0，y＞0，所以0＜y＜3，9－3y所以x＋3y＝＋3y1＋y1212＝＋3(y＋1)－6≥2·3（y＋1）－6＝6，1＋y1＋y12当且仅当＝3(y＋1)，1＋y即y＝1，x＝3时，(x＋3y)＝6.min法二∵x＞0，y＞0，211x＋3y9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·，332当且仅当x＝3y时等号成立.设x＋3y＝t＞0，则t2＋12t－108≥0，∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t＞0，∴t≥6.故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)＝6.min【类题通法】条件最值的

7、求解通常有三种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.【对点训练】1．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值为________.[答案]513[解析]法一由x＋3y＝5xy可得＋＝1，5y5x13∴3x＋4y＝(3x＋4y)＋5y5x943x12y13123x