2019高考数学二轮复习 专题八 数学思想、数学核心素养与数学文化 第2讲 函数与方程、数形结合思想练习

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1、第2讲　函数与方程、数形结合思想数学思想解读　1.函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程(组)，进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系、相互为用的.2.数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数

2、学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.热点一　函数与方程思想应用1　求解不等式、函数零点的问题【例1】(1)设00，则f′(x)＝ex－1>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，

3、且f(0)＝0，f(x)>0，∴ex－1>x，即ea－1>a.又y＝ax(0ae，从而ea－1>a>ae.(2)令h(x)＝g(x)，得xlnx＋1＝kx，即＋lnx＝k.令函数f(x)＝lnx＋，若方程xlnx－kx＋1＝0在区间上有两个不等实根，则函数f(x)＝lnx＋与y＝k在区间上有两个不相同的交点，f′(x)＝－，令－＝0可得x＝1，当x∈时f′(x)<0，函数是减函数；当x∈(1，e)时，f′(x)>0，函数是增函数，函数的极小值，也是最小值为f(1)＝1，而f＝－1＋e，f(e)＝1＋，又－1＋e>1＋，所以，函数的最大值为e－1.所以关于

4、x的方程xlnx－kx＋1＝0在区间上有两个不等实根，则实数k的取值范围是.答案　(1)B　(2)B探究提高　1.第(1)题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解.2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题.(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决.【训练1】(1)设函数f(x)＝－cosx，则方程f(x)＝所有实根的和为(　　)A.0B.C.D.(2)(2018·石家庄质检)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x

5、)＝log2(1－x)，若f(a2－1)<1，则实数a的取值范围是(　　)A.(－，0)∪(0，)B.(－，)C.(－1，0)∪(0，1)D.(－1，1)解析　(1)由f(x)＝－cosx＝，得－＝cosx，令y＝－，y＝cosx.在同一坐标系内作出两函数图象，易知两图象只有一个交点.∴方程f(x)＝的实根之和为.(2)依题意，f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(x)在R上是偶函数.∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝f(－1)＝1.由f(a2－1)<1，得

6、a2－1

7、<1，解得－

8、知数列{an}是各项均为正数的等差数列.(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an；(2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝＋＋…＋，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值.解　(1)∵a1＝2，a＝a2(a4＋1)，又∵{an}是正项等差数列，故d≥0，∴(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，得d＝2或d＝－1(舍去)，∴数列{an}的通项公式an＝2n.(2)∵Sn＝n(n＋1)，则＝＝－.∴bn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＝＝.令f(x)＝2x＋(x≥1)，则f′(x)＝2－>0恒成立，∴f(x)在[1

9、，＋∞)上是增函数，∴当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn)max＝.要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，则须使k≥(bn)max＝，∴实数k的最小值为.探究提高　1.本题完美体现函数与方程思想的应用，第(2)问利用裂项相消求bn，构造函数，利用单调性求bn的最大值.2.数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n项和公式即为相应的解析式，因此解决数列最值(范围)问题的方法如下：(1)由