苏教版高中数学（选修1-1）3.2《导数的运算（常见函数的导数）》word教案

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1、3.2.1　常见函数的导数教学过程Ⅰ.课题导入［师］我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用.Ⅱ.讲授新课［师］请几位同学上来用导数的定义求函数的导数.1.y=C(C是常数)，求y′.［学生板演］解：y=f(x)=C，∴Δy=f(x+Δx)-f(x)=C-C=0,=0.y′=C′==0,∴y′=0.2.y=xn(n∈N*),求y′.［学生板演］解：y=f(x)=xn,∴Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)n-xn∴y′=(xn)′.∴y′=nxn-1.3.

2、y=x-n(n∈N*),求y′.［学生板演］解：Δy=(x+Δx)-n-x-n∴=-nx-n-1.∴y′=-nx-n-1.※4.y=sinx,求y′.(叫两位同学做)［学生板演］［生甲］解：Δy=sin(x+Δx)-sinx=sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx,,∴=-2sinx·1·0+cosx=cosx.∴y′=cosx.［生乙］Δy=sin(x+Δx)-sinx=2cos(x+)sin，,∴=cosx.∴y′=cosx.(如果叫两位同学上去做没有得到两种方法，老师可把另一种方法介绍一下)※5.y=cosx,求y′.(也叫两位同学一起做)［生甲］解

3、：Δy=cos(x+Δx)-cosx=cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx,=-2cosx·1·0-sinx=-sinx,∴y′=-sinx.［生乙］解：=-sinx,∴y′=-sinx.［师］由4、5两道题我们可以比较一下，第二种方法比较简便，所以求三角函数的极限时，选择哪一种公式进行三角函数的转化，要根据具体情况而定，选择好的公式，可以简化计算过程.上面的第2题和第3题中，只证明了n∈N*的情况，实际上它对于全体实数都成立.我们把上面四种函数的导数作为四个公式，以后可以直接用.［板书］(一)公式1　C′=0(C是常数)公式2　(xn)′=nxn-1

4、(n∈R)公式3　(sinx)′=cosx公式4　(cosx)′=-sinx(二)课本例题［师］下面我们来看几个函数的导数，运用公式求:(1)(x3)′；(2)()′;(3)()′.［学生板演］(1)解：(x3)′=3x3-1=3x2.(2)解：.(3)解：.(还可以叫两个同学同做一道题，一个用极限即定义来求，一个用公式来求，比较一下)(三)变化率举例［师］我们知道在物理上求瞬时速度时，可以用求导的方法来求.知道运动方程s=s(t)，瞬时速度v=s′(t).［板书］物体按s=s(t)作直线运动，则物体在时刻t0的瞬时速度v0=s′(t0).v0=s′(t0)叫做位移

5、s在时刻t0对时间t的变化率.［师］我们引入了变化率的概念，函数f(x)在点x0的导数也可以叫做函数f(x)在点x0对自变量x的变化率.很多物理量都是用变化率定义的，除了瞬时速度外，还有什么？［板书］函数y=f(x)在点x0的导数叫做函数f(x)在点x0对自变量x的变化率.［生］例如角速度、电流等.［师］它们是分别对哪些量的变化率呢？［生］角速度是角度(作为时间的函数)对时间的变化率；电流是电量(作为时间的函数)对时间的变化率.［师］下面来看两道例题.［例1］已知物质所吸收的热量Q=Q(T)(热量Q的单位是J，绝对温度T的单位是K)，求热量对温度的变化率C(即热容量

6、).［学生分析］由变化率的含义，热量是温度的函数，所以热量对温度的变化率就是热量函数Q(T)对T求导.解：C=Q′(T),即热容量为Q′(T)J/K.［师］单位质量物质的热容量叫做比热容，那么上例中，如果物质的质量是vkg,那么比热容怎么表示？［生］比热容是Q′(T)J/(kg·K).图3-9［例2］如图3-9，质点P在半径为10cm的圆上逆时针作匀角速运动，角速度为1rad/s，设A为起始点，求时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度.［学生分析］要求时刻t时M点的速度，首先要求出在y轴的运动方程，是关于t的函数，再对t求导，就能得到M点的速度了.解：时刻t时，∵角

7、速度为1rad/s,∴∠POA=1·t=trad.∴∠MPO=∠POA=trad.∴OM=OP·sin∠MPO=10·sint.∴点M的运动方程为y=10sint.∴v=y′=(10sint)′=10cost，即时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度为10costcm/s.［师］我们学习了有关导数的知识，对于一些物理问题，就可以利用导数知识轻而易举地解决了.求导时，系数可提出来.Ⅲ.课堂练习1.(口答)求下列函数的导数.(1)y=x5;(2)y=x6;(3)x=sint;(4)u=cosφ.［生］(1)y′=(x5)′=5x4.［生］(2)y′=(x6)′=6x