2019高中数学 第1章 导数及其应用 1.1 导数学案 新人教B版选修2-2

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1、1.1　导数1．理解函数在某点的平均变化率的概念，并会求此平均变化率．2．理解运动物体在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)．3．理解导数的几何意义，并会求曲线在某点处的切线方程．1．函数的平均变化率一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商________________称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率．Δx，Δy的值可正、可负，

2、但Δx的值不能为0，Δy的值可以为0.若函数f(x)为常数函数，则Δy＝0.【做一做1－1】已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　)．A．0.40B．0.41C．0.43D．0.44【做一做1－2】在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数：①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝中，平均变化率最大的是(　　)．A．④B．③C．②D．①2．瞬时变化率与导数(1)设函数y＝f(x)在x0及其附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变量为Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δ

3、x)－f(x0)．如果当Δx趋近于0时，平均变化率＝趋近于一个常数l，那么常数l称为函数f(x)在点x0的__________．(2)“当Δx趋近于0时，趋近于常数l”可以用符号“→”记作“当Δx→0时，→l”，或记作“＝l”，符号“→”读作“趋近于”．函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率，通常称为f(x)在点x0处的______，并记作f′(x0)．这时又称f(x)在点x0处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当Δx→0时，→________”或“＝________”．(3)如果f(x)在开区间(a，b

4、)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)______．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的______，记为f′(x)或y′(或yx′)．导函数通常简称为______．(1)Δx是自变量x在x0处的改变量，Δx≠0，而Δy是函数值的改变量，可以是零．(2)对于导函数的定义的几种形式表示如下：y′＝；y′＝；y′＝；y′＝.【做一做2－1】若质点按规律s＝3t2运动，则在t＝3

5、时的瞬时速度为(　　)．A．6B．18C．54D．81【做一做2－2】已知函数f(x)在x＝x0处可导，则(　　)．A．与Δx，x0都有关B．仅与x0有关而与Δx无关C．仅与Δx有关而与x0无关D．与x0，Δx均无关3．导数的几何意义设函数y=f(x)的图象如图所示．AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0+Δx，f(x0+Δx))的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A的切线

6、．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率，即＝切线AD的斜率．由导数意义可知，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于________．【做一做3－1】曲线y＝－3x2＋2在点(0,2)处的切线的斜率为(　　)．A．－6B．6C．0D．不存在【做一做3－2】下面说法正确的是(　　)．A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y

7、＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在1．“函数f(x)在点x＝x0处的导数”“导函数”“导数”三者有何关系？剖析：(1)函数在点x＝x0处的导数f′(x0)是一个数值，不是变量．(2)导函数也简称导数，所以(3)函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算导函数在这点的函数值．2．曲线的切线与曲线只有一个公

8、共点吗？剖析：回答是否定的．这就是我们为什么要用割线的极值位置来定义切线，而不说与曲线只有一个公共点的直线叫切线，其理由如下：在初中我们学习过圆的切线：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的定义推广为一般曲线的切线的定义：直线和曲线有唯一公共点时，该直线叫做曲线在该点的切线，显然这种推广是不妥当的．观察图中的曲线C，直线l1虽然