次正交矩阵及其性质文献综述

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1、文献综述次正交矩阵及其性质一、前言部分矩阵不仅是各种数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具。就其本身的研究而言，矩阵理论和线性代数也是极富创造性的领域。它们的创造性又极大的推动和丰富了其他众多学科的发展：许多新的理论、方法和技术的诞生于发展就是矩阵理论和线性代数的创造性应用于推广的结果。可以毫不夸张地说，矩阵理论和线性代数在物理、土木、电机、航空、和航天等众多学科中是最富创造性和灵活性，并起着不可代替作用的数学工具。作为数学的一个重要的分支，矩阵理论具有极其丰富的内容。作为一种基本的工具，矩阵理论在数学学科以及其他科学技术领域，如数值分析、

2、最优化理论、概率统计、运筹学、控制理论、力学、电学、信息科学与技术、管理科学与工程等学科都有十分重要的应用。因此，学习和掌握矩阵的理论和应用对于工程研究生来说是必不可少的。由于矩阵论既是一门发展完善、理论严谨、方法独特的数学基础课，又广泛应用于工程科学的各个领域，故下面的基本内容在硕士研究生的培养过程中是不可缺少的组成部分，对培养学生的逻辑能力、推理能力及解决实际问题的能力等方面具有极其重要的地位和作用。分析并了解矩阵性质及应用的一个意图是，它要包括由于数学分析（例如，多元，多元微积分、复变量、微分方程、最优化和逼近理论等）的需要而产生的线性代数

3、中的论题。矩阵分析的另一个意图是，它是解决实的和复的线性代数问题的一种方法，这种方法果断地采用诸如极限、连续和幂级数这些来自分析的概念，这些概念有时比纯代数方法更为有效或更为自然。矩阵分析的这两个出发点影响下面的讨论和分析。我们认为采用术语矩阵分析比线性代数更能准确地反映该领域的广泛内容和研究方法。矩阵是数学中一个极其重要的、应用广泛的概念，是代数学的一个主要研究对象和重要工具。它广泛应用于数学、物理学、经济学等多个领域，因而也就使矩阵成为代数，特别是线性代数的一个主要研究对象。近年来，人们对次对角线方向的矩阵理论（如次对称性、次正交性）展开的研

4、究正日益增多，有关次对角线方向的矩阵理论在信息论、线性系统论、现代经济数学、矩阵方程论、物理学等众多学科中均有应用，因此研究次正交矩阵及其性质有重要的意义。下面将给出次正交矩阵的概念及其性质，并在此基础上给出J-次正交矩阵的概念及其性质和K-次正交矩阵的概念及其性质。二、主题部分2.1矩阵简史矩阵并非如同一种容易产生的猜想那样直接源自线性方程组系数的研究。系数阵列导致数学家们发展了行列式而不是矩阵。微积分创建者Leibniz在1963年使用了行列式，先于矩阵成为独立研究对象约150年。Cramer在1750年建立线性方程组的行列式基本公式，Gua

5、ss在1820年左右提出了消去法。这些事件都出现在矩阵概念存在之前。确定矩阵概念和产生“矩阵”一词的动机是试图为研究行列式提供适当的代数语言。1848年J.JSylvester引进术语“矩阵”，作为数的阵列的名称。它用“womb”是因为他视矩阵为行列式的生成体。在围绕行列式研究而寻求好的记号期间，Sylvester在1851年提提议把方形矩阵写成如下形式：2.2矩阵的概念定义1：由个数排成的行、列的长方形表称为数域上的一个矩阵（maxtrix）。其中的称为这个矩阵的元。矩阵通常用一个大写字母A表示，如果矩阵的行数m与列数n相等，则称它为阶方阵。数

6、域上的所有矩阵的集合记为，所有阶方阵的集合记为，元全为零的矩阵称为零矩阵，记为0。矩阵的位于第行、第列的元简称为的元，记为。如果矩阵的元是，则可以写成。2.3预备知识定义2：设矩阵则称如下的矩阵为矩阵的次转置，记为或。如果记，则。定义3：一个阶方阵叫做次对称矩阵：假若；一个阶方阵叫做反次对称矩阵，假若。显然，一个阶反次对称矩阵中，有。例如：是一个三阶次对称矩阵。是一个三阶反次对称矩阵。显然，设是阶单位矩阵，则。推论：（1）；（2）（A与是同级矩阵）；（3）（是常数）；（4）（是矩阵，是矩阵）。2.4次正交矩阵的定义与性质定义4：如果在数域上的阶方

7、阵满足。则称A为次正交矩阵。显然，定义3中的条件也可以用代替；且单位矩阵是次正交矩阵。例如，矩阵是实域上的一个三阶次正交矩阵。证：已知，可求得则可求得。证毕性质1：若是阶次正交矩阵，则也是次正交矩阵。证：因为是次正交矩阵；所以。两边取次转置得证毕性质2：若是阶次正交矩阵，则或。证：因为是次正交矩阵，所以。两边取行列式得所以或。证毕性质3：若是阶次正交矩阵，则可逆，且也是次正交矩阵。证：因为是次正交矩阵，所以。由性质2知，所以可逆。同理可逆，且。因，所以也是次正交矩阵。证毕性质4：若、均是阶次正交矩阵，则也是次正交矩阵。证：因为，可得从而也是次正交

8、矩阵。证毕定理1：数域上的阶方阵是次正交矩阵的充分必要条件是。证：必要性因为是次正交矩阵，所以，由性质3可知与均可逆，且。充分性因为将等