2018届高考数学大一轮复习第七章第二节空间几何体的表面积与体积

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1、第二节　空间几何体的表面积与体积☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆考纲要求真题举例命题角度　　了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。2016，全国卷Ⅰ，6,5分(表面积)2016，全国卷Ⅱ，6,5分(表面积)2016，全国卷Ⅲ，10,5分(体积最大值)2016，北京卷，6,5分(三棱锥体积)2016，浙江卷，14,6分(体积最大值)　　本节主要考查空间几何体表面积与体积的计算，同时考查空间几何体的结构特征、三视图等内容，解题要求有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想。微知识　小题练自

2、主

3、排

4、查1．几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面

5、积就是各个面的面积的和。(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环。(3)若圆柱、圆锥的底面半径为r，母线长l，则其表面积为S柱＝2πr2＋2πrl，S锥＝πr2＋πrl。(4)若圆台的上下底面半径为r1，r2，母线长为l，则圆台的表面积为S＝π(r＋r)＋π(r1＋r2)l。(5)球的表面积为4πR2(球半径是R)。2．几何体的体积(1)V柱体＝Sh。(2)V锥体＝Sh。(3)V台体＝(S′＋＋S)h，V圆台＝π(r＋r1r2＋r)h，V球＝πR3(球半径是R)。微点提醒1．求多面体的表面积，应找到其特征几何图形，它们是联系高与斜高、边长等几何元素

6、的桥梁。求旋转体(除球外)的侧面积时需要将曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和。2．求几何体的体积，要注意分割与补形。将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解。小

7、题

8、快

9、练一、走进教材1．(必修2P28A组T3改编)如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________。【解析】　设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1＝××a×b×c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47。【答案】　1∶472．(必修2P36

10、A组T10改编)一直角三角形的三边长分别为6cm,8cm,10cm，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________。【解析】　旋转一周所得几何体为以cm为半径的两个同底面的圆锥，其表面积为S＝π××6＋π××8＝π(cm2)。【答案】　πcm2二、双基查验1．(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)A．20πB．24πC．28πD．32π【解析】　该几何体是圆锥与圆柱的组合体，由三视图可知圆柱底面圆的半径r＝2，底面圆的周长c＝2πr＝4π，圆锥的母线长l＝＝4，圆柱的高h＝4，所以该几何体的表面积S表＝π

11、r2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π。故选C。【答案】　C2．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3，则这个四棱锥的外接球的表面积为(　　)A．12πB．36πC．72πD．108π【解析】　依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为3×＝6，高为＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π。故选B。【答案】　B3．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为__________。【解析】　设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，则πrl＋π

12、r2＝3π，πl＝2πr。解得r＝1，即直径为2。【答案】　24．(2016·北京高考)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________。【解析】　通过俯视图可知该四棱柱的底面为等腰梯形，则四棱柱的底面积S＝＝，通过侧视图可知四棱柱的高h＝1，所以该四棱柱的体积V＝Sh＝。【答案】　5．(2016·赤峰模拟)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为7π，则此三棱柱的体积为________。【解析】　如图，设三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为2a，在△ODC中，OD2＋DC2＝

13、OC2，即a2＋2＝r2，所以r2＝，S球表＝4πr2＝πa2＝7π，所以a2＝，即a＝，V三棱柱＝(2a)2·2a＝2a3＝2×3＝。【答案】　微考点　大课堂考点一空间几何体的表面积【典例1】　(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于(　　)A．8＋2　　　　　B．11＋2C．14＋2D．15(2)(2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径。若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)A．17πB．18πC．20πD．28π【解析】　(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所

14、示。直角梯