高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法2.3.2放缩法课堂导学案新人教选修

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1、2.3.2放缩法课堂导学三点剖析一,利用增,减项进行放缩【例1】证明下列不等式:(1)···…·<;(2)1<<2.证明：(1)<,<,……,<,令A=··…·,B=··…·,∴A

2、1025)·…·f(2048)与1.1的大小;②求证:f(n)>f(n+1)(n∈N,n≥2).(1)解析:log23-log34=∴log23>log34.(2)证明:=log524f(n+1)logn(n+1)>logn+1(n+2)logn+1(n+2)·logn+1n<1,仿(2)的证明思路,此式易证.温馨提示1.对于(1),比较大小→作差→平均值不等式→放缩,结果出来了.熟悉了常规解法,然后再去追求解法的新奇,所有新奇思路的获得,必植根于扎实的基础之中,如这样放缩:

3、log23=log827>log816>log916=log34,就更为巧妙!2.放与缩,没有固定的模式,需根据问题的特点,设计好如何进行放缩.放到什么程度,缩到怎样的范围,必须事先在心中有一个充分的估计.类题演练2a,b,c为三角形的三边,p=,p2=2ab,求证:(1)p<2a;(2)a>c.证明:(1)∵a+c>b,∴p=>=b.∴2ab=p·p>p·b,即p<2a.(2)p=≤,即≤,故a≥c.当且仅当2a=b时取等号,此时,由条件p2=2abp=b,再由p=知b=a+c,这与三角形两边之和大于第三边相矛盾,因此a>c.变式提升2(1)a,b,c为三角形的三边,证明a2+b2+c2

4、<2(ab+bc+ca);(2)设a,b,c为三角形的三边,证明证明:(1)a,b,c为三角形的三边,有a+b>cc(a+b)>c2,b+c>aa(b+c)>a2,c+a>bb(c+a)>b2.三式相加即为2(ab+bc+ca)>a2+b2+c2.(2)∴原不等式成立.三、利用其他方法进行放缩【例3】设0<α<β<,0<θ<,求证:.思路分析:α,β,θ为锐角,因此sin(θ+α),sin(θ+β),sinα,sinβ都是正值,当我们再一次去观察要证的不等式时,能让我们想起哪一个十分熟悉的不等式呢?外形的联想,往往能帮助我们触发解题思路.证明：∴原不等式成立.温馨提示将cosα换成cosβ

5、,值变小了,这里又直接利用了不等式:a,b,m>0且a2,且n∈N*时,求证:an+bn

6、.三式相乘,得sin·sin·sin≤.