高中数学第二讲讲明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法2.3.2放缩法课后导练新人教选修

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1、2.3.2放缩法课后导练基础达标1设x>0,y>0,A=,B=,则A,B的大小关系是_________________.解析:A=<=B.答案:Alog4=,∴log5

2、4已知a>b>c,则比较大小:_______.解析:∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,.∴≤.答案:≤5求证:2<<+1.证明:=2,又<+1,∴2<+1.综合应用6已知a>b≥0,c>0,求证:.证明:.7求证:2(-1)<1+(n∈N*).证明:∵,∴1+又∴∴原不等式成立.8已知an=(n∈N*),求证:n,∴an=.又<［(n+1)+n］=(2n+1),∴an=∴.9求证:+(n∈N*).证明:,∴左式<［(1-)+(-)+…+()］=(1-)<.拓展探究10在△ABC中,求证:≤(a,b,c为三边,A,B,C为弧度).证明:∵b+c>a,有a+b+c>2a,

3、∴可知.同理,.∴.又∵(a-b)(A-B)≥0,便是aA+bB≥aB+bA,∴aA+bB+cC≥aB+bA+cC.同理,aA+bB+cC≥cA+aC+bB,aA+bB+cC≥cB+bC+aA.三式相加,得3(aA+bB+cC)≥π(a+b+c),即≥.∴原不等式成立.备选习题11设n∈N,且n>1,f(n)=1+++…+,求证:f(2n)>.证明:f(2n)=1+++…++…+=1++(+)+(12设三角形三边a,b,c满足关系an+bn=cn(n≥3,n∈N),求证:△ABC为锐角三角形.证明:∵an+bn=cn,故()n+()n=1.∴c>a,c>b,△ABC中c边最长.又由于n≥3,1

4、=()n+()n<()2+()2,∴a2+b2>c2,由余弦定理cosC=>0,△ABC为锐角三角形.13设a1,a2,a3,…,an是一组正数,求证:证明:,，∴14α≠(n∈Z),求证:(1+)(1+)≥(1+2n)2.证明:左式=1+++≥(1+2n)2(∵

5、sinα·cosα

6、≤).∴原不等式成立.15设0<α<,0<β<,0

7、,n≥2,求证:(1-x)n+(1+x)n≤2n.证明:∵-1≤x≤1,设x=cos2θ,则1-x=1-cos2θ=1-(1-2sin2θ)=2sin2θ,1+x=2cos2θ.∴(1-x)n+(1+x)n=(2sin2θ)n+(2cos2θ)n=2n(sin2nθ+cos2nθ).考虑指数函数y=ax,当a∈(0,1)时,在x∈(0,+∞)上单调递减,∴sin2nθ≤sin2θ,cos2nθ≤cos2θ.∴2n(sin2nθ+cos2nθ)≤2n(sin2θ+cos2θ)=2n.∴(1-x)n+(1+x)n≤2n.