高中数学第三章不等式3.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质课堂探究学案

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1、3.1.2不等式的性质课堂探究一、不等式的性质的应用误区剖析：使用不等式的性质时，一定要注意它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)a＞b，c＞da＋c＞b＋d，已知的两个不等式必须是同向不等式；(2)a＞b＞0，且c＞d＞0ac＞bd，已知的两个不等式不仅要求同向，而且不等式的两边必须为正值；(3)a＞b＞0an＞bn(n∈N＋，n＞1)及a＞b＞0＞(n∈N＋，n＞1)，成立的条件是已知不等式的两边为正值，并且n∈N＋，n＞1，否则结论就不成立．假设去掉b＞0这个条件，取a＝3，b＝－4，n＝

2、2，就会出现32＞(－4)2的错误结论；又若去掉了“n∈N＋，n＞1”这个条件，取a＝3，b＝2，n＝－1，又会出现3－1＞2－1，即＞的错误结论．对于性质4的推论2和推论3，在n取正奇数时，可放宽条件，命题仍成立，即有：a＞ban＞bn(n＝2k＋1，k∈N)，a＞b＞(n＝2k＋1，k∈N)．名师点拨：(1)性质中的a和b可以是实数，也可以是代数式．(2)对于性质2，要正确处理带等号的情况，由a>b，b≥c或a≥b，b>c均可推出a>c；而a≥b，b≥c可推出a≥c．(3)性质3是不等式移项法则的基础．(4)性质3的推论2是

3、同向不等式相加法则的依据．(5)若a＞b且ab＞0，则＜．若a＞b，且ab＜0，则＞，即“同号取倒数，方向改变，异号取倒数，方向不变”．(6)若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d．(7)若a＞b＞0，c＞d＞0，则＞．二、教材中的“？”在解一元一次不等式3x－2≤5x＋1的过程中，应用了不等式的哪些性质？剖析：不等式的解运用性质3x－2≤5x＋1－2x≤3移项：性质3的推论12x≥－3同乘－1：性质4x≥－同乘：性质4题型一判断真假【例1】下列命题中，一定正确的是(　　)A．若a＞b，且＞，则a＞0，b＜0B．若a＞b，b≠0，则

4、＞1C．若a＞b，且a＋c＞b＋d，则c＞dD．若a＞b，且ac＞bd，则c＞d解析：对选项A，∵＞，∴＞0．又a＞b，∴b－a＜0，∴ab＜0，∴a＞0，b＜0．对选项B，当a＞0，b＜0时，有＜1，故B错．对选项C，当a＝10，b＝2，c＝1，d＝3时，虽然10＋1＞2＋3，但1＜3，故C错．对选项D，当a＝－1，b＝－2，c＝－1，d＝3时，有(－1)×(－1)＞(－2)×3，但－1＜3，故D错．答案：A反思：运用不等式的性质进行数的大小的判断时，要注意不等式性质成立的条件，不能弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质，解

5、有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．题型二应用不等式的性质证明不等式【例2】已知a>b>0，c－d>0．∴0<－<－．a>b>0，∴－>－>0．∴>，即－>－，两边同乘以－1，得<．反思：(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质

6、并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．【互动探究】若把条件“cd>0”，结论改为“>”，其他条件不变，应该怎样证明？证明：∵a>b>0，∴0<<，即>>0．又c>d>0，∴>>0，∴>．题型三不等式性质的实际应用【例3】建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于10%，且这个比值越大，住宅的采光条件越好．试问：同时增加相等的窗户面积和地板面积

7、，住宅的采光条件是变好了，还是变坏了？请说明理由．分析：可先设住宅的窗户面积、地板面积分别为a，b，根据题意知a＜b且≥10%，然后设同时增加的面积为m，得到a＋m＜b＋m，用比较法判断与的大小即可．解：变好了．理由：设住宅的窗户面积、地板面积分别为a，b，同时增加的面积为m，根据问题的要求可知a＜b且≥10%．由于－＝＞0，于是＞．又≥10%，因此＞≥10%．所以，同时增加相等的窗户面积和地板面积后，住宅的采光条件变好了．反思：一般地，设a，b为正实数，且a＜b，m＞0，则＞．利用这个不等式，可以解释很多现象，比如b克糖水中有

8、a克糖(b＞a＞0)，若再添上m克糖(m＞0且未达到饱和状态)，则糖水变甜了．再比如芭蕾舞演员跳芭蕾时总是踮起脚尖，这是为什么呢？这是因为踮起脚尖改变了演员下半身与整个身高的比值，使这个比值接近于黄金分割比0.618，从而带给观众更美的享受．题型四易错辨析【例4