一分析的化身──欧拉

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1、分析的化身——欧拉鹤壁高中王青一．学习目标1.【知识与能力】了解欧拉的一生，能够熟悉欧拉的数学贡献.2.【过程与方法】Ø通过七桥问题，理解数学家欧拉的探索过程及研究精神.3.【情感态度与价值观】通过对欧拉的了解，学习欧拉坚韧不拔的意志、百折不挠的精神.二．学习重难点熟悉欧拉的丰功伟绩，了解“哥尼斯堡七桥”问题,体会欧拉的探索过程.三．欧拉简介莱昂哈德..欧拉（Leonhard.Euler，1707-1783），1707年4月15日出生在瑞士的巴塞尔，1783年9月18日在俄国的彼得堡去世.，瑞士数学家及自

2、然科学家，有“数学英雄”的美称.。传奇小故事欧拉小时候，父亲决定建造一个羊圈.他用尺量出了一块长40米，宽15米的长方形土地.正打算动工时，他发现他的材料只够围100米的篱笆.父亲感到很为难，小欧拉却想出了办法，他将原来的40米边长缩短为25米，又将原来的15米增加为25米.这样篱笆能全部用光，面积还比原来的稍稍大了些.小时候他就特别喜欢数学，不满10岁就开始自学《代数学》，遇到不懂的地方，就用笔作个记号，事后再向别人请教.思考：你对小欧拉有什么印象？你能讲一些欧拉的故事吗？数学生涯的开始欧拉出生在牧师家

3、庭.13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁时又获得哲学硕士学位.欧拉的父亲希望他学习神学，但他最感兴趣的是数学.在上大学时，他已受到约翰.伯努利的特别指导，专心研究数学.18岁时，他彻底放弃了当牧师的想法开始专攻数学，并开始发表文章.1725年，欧拉正式开始了他的数学生涯.欧拉的奋斗历程1726年，欧拉受聘于圣彼得堡科学院，在那儿的头14年，欧拉在分析学数论、力学领域作出了辉煌的成果.由于劳累过度，欧拉在1738年的一场疾病后右目失明，但这并没有击垮顽强的欧拉，他仍然一如既往、全身心地投入到数学研

4、究中.1741年，欧拉到德国科学院担任物理数学所所长一职，长达25年.在柏林期间，他的研究内容更加广泛，涉及行星运动、刚体运动、热力学、弹道学、人口学等等，这些工作与他的数学研究互相推动着.与此同时，他在微分方程、曲面微分几何以及其他数学领域均有开创性的发现.欧拉在1766年携家人回到阔别25年的俄国.1771年，欧拉双目完全失明；是年，他的住所和财产以及大量研究成果在一场大火后荡然无存；两年后，欧拉的夫人辞世.尽管遭遇一系列不幸的沉重打击，但他仍以惊人的记忆力和心算继续从事科学创作.他通过与助手们的讨论

5、以及直接口授等方式完成了大量的科学著作，直至生命的最后一刻.思考：欧拉一生取得伟大成就的原因在于？四．欧拉的丰功伟绩欧拉是18世纪数学杰出的人物之一，可以说，18世纪是欧拉的世纪，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理领域.1.数学分析在欧拉所有的数学工作中，首屈一指应是对分析学的研究.欧拉的三本书《无穷分析论》（1748），《微分学》（1755）和《积分学》（共三卷。1768-1770）成为微积分发展史上里程碑式的著作.三部著作在很长时间里被作为分析课本的典范而普遍使用，并被当时欧洲的微积分学

6、习者奉为经典.欧拉在这些著作中详尽系统的解说了当时的微积分方法.他在《无穷分析引论》中给出了著名的极限：其中e是自然对数的底数欧拉还给出了被誉为数学上最著名的公式之一如果将代入其中，就有，这就是著名的欧拉恒等式.这个简洁的等式包含了数学中最重要的四个数：圆周率，自然对数e，虚数单位i和数学的基本单位1,被誉为数学中最美的公式.在《微积分》一书中，欧拉给出了大量初等函数的积分.鉴于欧拉为分析的发展作出的卓越贡献，人们将他誉为的“分析的化身”.2.函数函数概念:第一阶段:17世纪是从常量数学进入变量数学的过渡

7、时期，笛卡尔发明的解析几何是函数概念新发展的标志.第二阶段:18世纪，欧拉把函数定义为“由一个变量与一些常量通过任何方式形式的解析表达式”，概括了多项式、幂级数、对数表达式和三角表达式，微积分的发展使得函数的概念进一步完善.第三阶段:1755年，欧拉在《微积分原理》中再一次扩张了他的函数概念：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量改变时，前面这些变量也随之变化，则将前面的这些变量称为后面变量的函数.”这个函数概念体现了“a自变”到”因变“的过程，被认为是科学的函数概念的雏形.初等

8、函数:《无穷分析引论》第一卷共18章，主要研究初等函数论.其中，第八章研究圆函数，第一次阐述了三角函数的解析理论.欧拉在《无穷分析引论》中研究了指数函数和对数函数.1751年，欧拉发表了完备的复数理论.单复变函数:通过对初等函数的研究，达朗贝尔和欧拉在1747－1751年间先后得到了（用现代数语表达的）复数域关于代数运算和超越运算封闭的结论。他们两人还在分析函数的一般理论方面取得了最初的进展,为单复变函数的发展打下了基础。21