江苏版高考数学一轮复习专题3.3导数的综合应用练

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1、专题3.3导数的综合应用1.(2017·南通调研)已知函数f(x)=a+xlnx(a∈R).(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)的零点个数.1解(1)由函数f(x)=a+xlnx∈(a∈R)得f′(x)=(lnx+2).2x-2令f′(x)=0,得x=e,列表如下:-2-2-2x(0,e)e(e,+∞)f′(x)-0+f(x)极小值-2-2因此,函数f(x)的单调递增区间为(e,+∞),单调递减区间为(0,e).所以当a≤0时,函数f(x)零点个数为1.-1②当0

2、,其中a,b∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=0.32(1)解由f(x)=x-ax-b,可得f′(x)=3x-a.下面分两种情况讨论:2①当a≤0时,有f′(x)=3x-a≥0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).3a3a②当a>0时,令f′(x)=0,解得x=或x=-.33当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:3a3a3a3a3a3ax-∞,---,,+∞333333f′(x)+0-0+f(x)极大值极小值3a3a3a3a-,-∞,-,

3、+∞所以f(x)的单调递减区间为33,单调递增区间为3,3.(2)证明因为f(x)存在极值点,所以由(1)知a>0,且x0≠0.22a由题意,得f′(x0)=3x0-a=0,即x0=,3-2-32a进而f(x0)=x0-ax0-b=-x0-b.338a又f(-2x0)=-8x0+2ax0-b=-x0+2ax0-b=32a-x0-b=f(x0),且-2x0≠x0,3由题意及(1)知,存在唯一实数x1满足f(x1)=f(x0),且x1≠x0,因此x1=-2x0,所以x1+2x0=0.ax3.(2017·南京、盐城模拟)已知函数f(x)=在x=0处的切线方程为y

4、=x.xe(1)求实数a的值;1(2)若对任意的x∈(0,2),都有f(x)<成立,求实数k的取值范围;2k+2x-xx1+x2(3)若函数g(x)=lnf(x)-b的两个零点为x1,x2,试判断g′2的正负,并说明理由.由题意得函数g(x)=lnf(x)-b=lnx-x-b,11-x所以g′(x)=-1=,xx易得函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,x1+x2x1+x2所以要证g′2<0,只需证明>1即可.2-3-x1+b=lnx1,因为x1,x2是函数g(x)的两个零点,所以x2+b=lnx2,xx4.(2016·江苏卷)已知

5、函数f(x)=a+b(a>0,b>0,a≠1,b≠1).1(1)设a=2,b=.2①求方程f(x)=2的根;②若对任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.1xx解(1)①由已知可得2+2=2,x1即2+=2.x2x2x∴(2)-2·2+1=0,x解得2=1,∴x=0.1xxx-x②f(x)=2+2=2+2,x-x令t=2+2,则t≥2.2x-2x2又f(2x)=2+2=t-2,2故f(2x)≥mf(x)-6可化为t-2≥mt-6,444即m≤t

6、+,又t≥2,t+≥2t·=4.ttt-4-(当且仅当t=2时等号成立).4t+∴m≤tmin=4.即m的最大值为4.(2)∵0<a<1,b>1,∴lna<0,lnb>0.xxg(x)=f(x)-2=a+b-2.xxg′(x)=alna+blnb且g′(x)为单调递增,值域为R的函数.∴g′(x)一定存在唯一的变号零点.∴g(x)为先减后增且有唯一极值点.由题意g(x)有且仅有一个零点.,则g(x)的极值一定为0,00而g(0)=a+b-2=0,故极值点为0.∴g′(0)=0,即lna+lnb=0.∴ab=1.x+a5.(2017·衡水中学质检)已知函数f

7、(x)=.xe(1)若f(x)在区间(-∞,2)上为单调递增函数,求实数a的取值范围;(2)若a=0,x0<1,设直线y=g(x)为函数f(x)的图象在x=x0处的切线,求证:f(x)≤g(x).x26.(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=(x-2)e+a(x-1).(1)讨论f(x)的单调性;-5-(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.xx解(1)f′(x)=(x-1)e+2a(x-1)=(x-1)(e+2a).(ⅰ)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在

8、(1,+∞)上单调递增.(ⅱ)设a<0,由f′(x)=0得x=1或

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