浙江高考数学总复习第三章第3讲导数与函数的极值最值课时作业

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1、第3讲　导数与函数的极值、最值基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·四川卷)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)A.－4B.－2C.4D.2解析　f′(x)＝3x2－12，∴x<－2时，f′(x)>0，－22时，f′(x)>0，∴x＝2是f(x)的极小值点.答案　D2.函数f(x)＝x2－lnx的最小值为(　　)A.B.1C.0D.不存在解析　f′(x)＝x－＝，且x>0.令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0

2、，且f(1)＝－ln1＝.答案　A3.(2017·合肥模拟)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于(　　)A.B.C.D.解析　由图象可知f(x)的图象过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1＋b＋c＝0，8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋2.x1，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的两根，因此x1＋x2＝2，x1x2＝，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4－＝.答案　C4.(2017·绍兴调研)已知函数f(

3、x)＝ex－x2，若∀x∈[1，2]，不等式－m≤f(x)≤m2－4恒成立，则实数m的取值范围是(　　)A.(－∞，1－e]B.[1－e，e]-7-C.[－e，e＋1]D.[e，＋∞)解析　因为f(x)＝ex－x2，所以f′(x)＝ex－2x，令g(x)＝f′(x)，所以g′(x)＝ex－2，因为x∈[1，2]，所以g′(x)＝ex－2>0，故f′(x)＝ex－2x在[1，2]上是增函数，故f′(x)＝ex－2x≥e－2>0；故f(x)＝ex－x2在[1，2]上是增函数，故e－1≤ex－x2≤e2－4；故－m≤f(x)≤m2－4恒成立可化为－m≤e

4、－1≤e2－4≤m2－4；故m≥e.答案　D5.(2017·东北四校联考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(　　)A.(－1，2)B.(－∞，－3)∪(6，＋∞)C.(－3，6)D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析　∵f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，由已知可得f′(x)＝0有两个不相等的实根.∴Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，即a2－3a－18>0，∴a>6或a<－3.答案　B二、填空题6.函数f(x)＝＋x2－3x－4在[0，2]上的最小值是________.解析　f′(x)＝x2＋

5、2x－3，由f′(x)＝0，x∈[0，2]，得x＝1.比较f(0)＝－4，f(1)＝－，f(2)＝－，可知最小值为－.答案　－7.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为________.解析　由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，即解得或经检验满足题意，故＝－.答案　－8.(2017·金华月考)函数f(x)＝x3－3ax＋b(a>0)的极大值为6，极小值为2，则f(x)的单调递减区间是________；函数的极大值为________.解析　令f′(x)＝3x2－3a＝0

6、，得x＝±，-7-则f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：x(－∞，－)－(－，)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值从而解得f(x)＝x3－3x＋4，所以f(x)的单调递减区间是(－1，1)，当x＝－＝－1时，f(x)极大＝f(－1)＝6.答案　(－1，1)　6三、解答题9.(2017·丽水检测)设f(x)＝，其中a为正实数.(1)当a＝时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求实数a的取值范围.解　对f(x)求导得f′(x)＝ex·.①(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝

7、，x2＝.结合①，可知xf′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以x1＝是极小值点，x2＝是极大值点.(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0

8、0

9、′(x)随x的变化情况如下表：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以，f(x)