2019-2020年高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量练习理

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1、2019-2020年高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量练习理一、选择题1.(xx·新课标全国Ⅱ卷)设向量a，b满足

2、a＋b

3、＝，

4、a－b

5、＝，则a·b＝(　　)A.1B.2C.3D.5解析　由

6、a＋b

7、＝得

8、a＋b

9、2＝10，即a2＋2a·b＋b2＝10，①又

10、a－b

11、＝，所以a2－2a·b＋b2＝6，②由①－②得4a·b＝4，则a·b＝1.答案　A2.已知点A(－1，1)、B(1，2)、C(－2，－1)、D(3，4)，则向量在方向上的投影为(　　)A.B.C.－D.－解析　＝(

12、2，1)，＝(5，5)，

13、

14、＝5，故在方向上的投影为＝＝.答案　A3.已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p1：

15、a＋b

16、＞1⇔θ∈p2：

17、a＋b

18、＞1⇔θ∈p3：

19、a－b

20、＞1⇔θ∈p4：

21、a－b

22、＞1⇔θ∈其中的真命题是(　　)A.p1，p4B.p1，p3C.p2，p3D.p2，p4解析　

23、a

24、＝

25、b

26、＝1，且θ∈[0，π]，若

27、a＋b

28、＞1，则(a＋b)2＞1，∴a2＋2a·b＋b2＞1，即a·b＞－，∴cosθ＝＝a·b＞－，∴θ∈；若

29、a－b

30、＞1，同理求得a·b＜，∴cos

31、θ＝a·b＜，∴θ∈，故p1，p4正确，应选A.答案　A4.已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则向量a，b的夹角为(　　)A.B.C.D.解析　因为a，b均为单位向量，所以(2a＋b)·(a－2b)＝2－2－3a·b＝－，解得a·b＝，所以cos〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.答案　A5.若两个非零向量a，b满足

32、a＋b

33、＝

34、a－b

35、＝2

36、a

37、，则向量b与a＋b的夹角为(　　)A.B.C.D.解析　法一　由已知，得

38、a＋b

39、＝

40、a－b

41、，将等式两边分

42、别平方，整理可得a·b＝0.①由已知，得

43、a＋b

44、＝2

45、a

46、，将等式两边分别平方，可得a2＋b2＋2a·b＝4a2.②将①代入②，得b2＝3a2，即

47、b

48、＝

49、a

50、.而b·(a＋b)＝a·b＋b2＝b2，故cos〈b，a＋b〉＝＝＝＝.又〈b，a＋b〉∈[0，π]，所以〈b，a＋b〉＝.故选A.法二　如图，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b.由

51、a＋b

52、＝

53、a－b

54、＝2

55、a

56、，可得

57、

58、＝

59、

60、＝2

61、

62、，所以平行四边形OACB是矩形，＝＝a.从而

63、

64、＝2

65、

66、.由Rt

67、△BOC中，

68、

69、＝故cos∠BOC＝＝，所以∠BOC＝.从而〈b，a＋b〉＝∠BOC＝，故选A.答案　A二、填空题6.(xx·新课标全国Ⅰ卷)已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________.解析　由＝(＋)，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以与的夹角为90°.答案　90°7.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥；⑤(4a＋

70、b)⊥.解析　∵2＝4

71、a

72、2＝4，∴

73、a

74、＝1，故①正确；∵＝－＝(2a＋b)－2a＝b，又△ABC为等边三角形，∴

75、

76、＝

77、b

78、＝2，故②错误；∵b＝－，∴a·b＝·(－)＝×2×2×cos60°－×2×2＝－1≠0，故③错误；∵＝b，故④正确；∵(＋)·(－)＝2－2＝4－4＝0，∴(4a＋b)⊥，故⑤正确.答案　①④⑤8.如图，在△ABC中，C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足＝2，则·＝________.解析　法一　如图，建立平面直角坐标系.由题意知：A(3，0)，B(0，3)，设M(x，

79、y)，由＝2，得解得即M点坐标为(2，1)，所以·＝(2，1)·(0，3)＝3.法二　·＝(＋)·＝2＋·＝2＋·(－)＝2＝3.答案　3三、解答题9.已知向量a＝，b＝，且x∈.(1)求a·b及

80、a＋b

81、；(2)若f(x)＝a·b－2λ

82、a＋b

83、的最小值是－，求λ的值.解　(1)a·b＝coscos－sinsin＝cos2x，

84、a＋b

85、＝＝＝2，因为x∈，所以cosx≥0，所以

86、a＋b

87、＝2cosx.(2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ

88、a＋b

89、＝cos2x－4λcosx，即f(x)＝2(c

90、osx－λ)2－1－2λ2.因为x∈，所以0≤cosx≤1.②当λ＜0时，当且仅当cosx＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝；③当λ＞1时，当且仅当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ＞1相矛盾.综上所述λ＝.10.设向量a＝(sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈.(1)若

91、a

92、＝

93、b

94、