2019-2020年高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量练习

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1、2019-2020年高考数学二轮复习专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量练习一、选择题1.设a，b是两个非零向量.(　　)A.若

2、a＋b

3、＝

4、a

5、－

6、b

7、，则a⊥bB.若a⊥b，则

8、a＋b

9、＝

10、a

11、－

12、b

13、C.若

14、a＋b

15、＝

16、a

17、－

18、b

19、，则存在实数λ，使得b＝λaD.若存在实数λ，使得b＝λa，则

20、a＋b

21、＝

22、a

23、－

24、b

25、解析　对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，因此a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时

26、a＋b

27、＝

28、a

29、－

30、b

31、不成立；对于C，可得cos〈a，b〉＝－1，因此成立，而D显然不一定成立.答案　C2.已知点A(－1，1)、B(1，2)、C(－2，－1)

32、、D(3，4)，则向量在方向上的投影为(　　)A.B.C.－D.－解析　＝(2，1)，＝(5，5)，

33、

34、＝5，故在方向上的投影为＝＝.答案　A3.已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p1：

35、a＋b

36、＞1⇔θ∈p2：

37、a＋b

38、＞1⇔θ∈p3：

39、a－b

40、＞1⇔θ∈p4：

41、a－b

42、＞1⇔θ∈其中的真命题是(　　)A.p1，p4B.p1，p3C.p2，p3D.p2，p4解析　

43、a

44、＝

45、b

46、＝1，且θ∈[0，π]，若

47、a＋b

48、＞1，则(a＋b)2＞1，∴a2＋2a·b＋b2＞1，即a·b＞－，∴cosθ＝＝a·b＞－，∴θ∈；若

49、a－b

50、＞1，同理求得a·b＜，

51、∴cosθ＝a·b＜，∴θ∈，故p1，p4正确，应选A.答案　A4.若两个非零向量a，b满足

52、a＋b

53、＝

54、a－b

55、＝2

56、a

57、，则向量b与a＋b的夹角为(　　)A.B.C.D.解析　法一　由已知，得

58、a＋b

59、＝

60、a－b

61、，将等式两边分别平方，整理可得a·b＝0.①由已知，得

62、a＋b

63、＝2

64、a

65、，将等式两边分别平方，可得a2＋b2＋2a·b＝4a2.②将①代入②，得b2＝3a2，即

66、b

67、＝

68、a

69、.而b·(a＋b)＝a·b＋b2＝b2，故cos〈b，a＋b〉＝＝＝＝.又〈b，a＋b〉∈[0，π]，所以〈b，a＋b〉＝.故选A.法二　如图，作＝a，＝b，以OA，OB为邻边作

70、平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b.由

71、a＋b

72、＝

73、a－b

74、＝2

75、a

76、，可得

77、

78、＝

79、

80、＝2

81、

82、，所以平行四边形OACB是矩形，＝＝a.从而

83、

84、＝2

85、

86、.由Rt△BOC中，

87、

88、＝故cos∠BOC＝＝，所以∠BOC＝.从而〈b，a＋b〉＝∠BOC＝，故选A.答案　A5.(xx·浙江卷)记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面向量，则(　　)A.min{

89、a＋b

90、，

91、a－b

92、}≤min{

93、a

94、，

95、b

96、}B.min{

97、a＋b

98、，

99、a－b

100、}≥min{

101、a

102、，

103、b

104、}C.max{

105、a＋b

106、2，

107、a－b

108、2}≤

109、a

110、2＋

111、b

112、2D.max{

113、a＋b

114、2，

115、a－

116、b

117、2}≥

118、a

119、2＋

120、b

121、2解析　由三角形法则知min{

122、a＋b

123、，

124、a－b

125、}与min{

126、a

127、，

128、b

129、}的大小不确定，由平行四边形法则知，max{

130、a＋b

131、，

132、a－b

133、}所对角大于或等于90°，由余弦定理知max{

134、a＋b

135、2，

136、a－b

137、2}≥

138、a

139、2＋

140、b

141、2，故选D.答案　D二、填空题6.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥；⑤(4a＋b)⊥.解析　∵2＝4

142、a

143、2＝4，∴

144、a

145、＝1，故①正确；∵＝－＝(2a＋b)－

146、2a＝b，又△ABC为等边三角形，∴

147、

148、＝

149、b

150、＝2，故②错误；∵b＝－，∴a·b＝·(－)＝×2×2×cos60°－×2×2＝－1≠0，故③错误；∵＝b，故④正确；∵(＋)·(－)＝2－2＝4－4＝0，∴(4a＋b)⊥，故⑤正确.答案　①④⑤7.如图，在△ABC中，C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足＝2，则·＝________.解析　法一　如图，建立平面直角坐标系.由题意知：A(3，0)，B(0，3)，设M(x，y)，由＝2，得解得即M点坐标为(2，1)，所以·＝(2，1)·(0，3)＝3.法二　·＝(＋)·＝2＋·＝2＋·(－)＝2＝3.答案　38.已知e1

151、，e2是平面单位向量，且e1·e2＝，若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则

152、b

153、＝________.解析　不妨设b＝xe1＋ye2，则b·e1＝x＋＝1，b·e2＝＋y＝1，因此可得x＝y＝，所以

154、b

155、＝

156、e1＋e2

157、＝.答案　三、解答题9.已知向量a＝，b＝，且x∈.(1)求a·b及

158、a＋b

159、；(2)若f(x)＝a·b－2λ

160、a＋b

161、的最小值是－，求λ的值.解　(1)a·b＝coscos－sinsin＝cos2x，

162、a＋b

163、＝＝＝2，因为x∈，所以cosx≥0，所以

164、a＋b

165、＝2cosx.(2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ

166、a＋b

167、＝cos2x－