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《线性微分方程的一般理论》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、线性微分方程的一般理论摘要：本文描述了线性微分方程的定义,齐次线性微分方程的解的性质与结构,以及非齐次线性微分方程与常数变易法,给读者展示了线性微分方程的一般理论和解法.关键词：齐次线性微分方程；朗斯基行列式；通解；基本解组；常数变易法TheGeneralTheoryofLinearDifferentialEquationAbstract：Inthispaper,wedescribethedefinitionofalineardifferentialequation,thepropertiesandstruct
2、ureofthesolutionsofthehomogeneouslineardifferentialequationandnonhomogeneouslineardifferentialequation,showingthereadersthelineardifferentialequationmethodofthegeneraltheoryofreconciliation.KeyWords:Homogeneouslineardifferentialequation;Langyankeesdeterminan
3、t;Generalsolution;Basicsetofsolutions;Methodofvariationconstant前言在微分方程的理论中,线性微分方程是很重要的一部分.线性微分方程是研究非齐次线性微分方程的基础,它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛的应用.因此学习线性微分方程的一般理论是非常有用的.1.引言先讨论如下的阶线性微分方程，(1)其中及都是区间上的连续函数.如果,则方程(1)变为，(2)9我们称它为阶齐次线性微分方程,简称齐次线性微分方程,而称一般的方程(1)为阶非齐次线性微分方
4、程,简称非齐次线性微分方程,并且通常把方程(2)叫做对应于方程(1)的齐次线性方程.首先给出方程(！)的解的存在唯一性定理.定理1[1]如果及都是区间上的连续函数,则对于任一及任意的,,,,方程(1)存在唯一解,定义于区间上,且满足初值条件,,,.(3)2.齐次线性微分方程的解的性质与结构首先讨论齐次线性微分方程.(2)根据“常数可以从微分号下提出来”以及“和的倒数等于倒数之和”的法则,容易得到齐次线性微分方程的解的叠加原理.定理2(叠加原理)如果,,,是方程(2)的个解,则它们的线性组合也是(2)的解,这里,
5、,,是任意常数.特别地，当时，即方程(2)有解(4)它含有个任意常数.考虑定义在区间上的函数,,,,如果存在不全为零的常数,,,,使得恒等式对于所有都成立,我们称这些函数是线性相关的,否则就成这些函数在所给区间上线性无关.9有定义在区间上的个可微次的函数,,,所做成的行列式成为这些函数的朗斯基行列式.定理3若函数,,,在区间上线性相关，则在上它们的朗斯基行列式.证明有假设知,存在一组不全为零的常数,,,,使得，(5)依次对微分此等式,得到(6)把(6)和(7)看成关于,,,的齐次线性代数方程组,它的系数行列式,
6、于是由线性代数理论知道，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零,即.定理证毕.定理4如果方程(2)的解,,,在区间上线性无关,则在这个区间的任何点上都不等于零,即.证明采用反证法.设有某个使得.考虑关于,,,的齐次线性代数方程组9(7)其系数行列式,故(7)有非零解,,,.先在以这组常数构造函数,,根据叠加原理,是方程(2)的解.注意到(7),知道这个解满足初值条件,(8)但是显然也是方程(2)的满足初始条件(8)的解.有解的唯一性,即知,即,.因为,,,不全为零,这就与,,,线性无关的假设矛盾.定理得
7、证.根据定理3和定理4可以知道,由阶齐次线性微分方程(2)的个解构成的朗斯基行列式或者恒等于零,或者在方程的系数为连续的区间内处处不等于零.定理5[2]阶齐次线性微分方程(2)一定存在个线性无关的解.证明线性微分方程(2)存在满足下列初始条件,,,;,,,;,,,的个解,,,,.又因,于是可知这个解在上线性无关.定理6[3](通解结构定理)如果,,,是方程(2)的个线性无关的解,则方程(2)的通解可表为9,(9)其中,,,是任意常数.且通解(9)包括了方程(2)的所有解.推论方程(2)的线性无关解的最大个数等于
8、.因此可得结论:阶齐次线性微分方程的所有解构成一个维线性空间.方程(2)的一组个线性无关解称为方程的一个基本解组.显然,基本解组不是唯一的.特别的,当时称其为标准基本解组.3.非齐次线性微分方程与常数变易法考虑阶非齐次线性微分方程,(1)易见方程(2)是它的特殊形式,首先容易验证如下两个简单性质:性质1如果是方程(1)的解,而是方程(2)的解,则也是方程(1)的解.性质2方程(1)的任
