线性微分方程的一般理论ppt课件.ppt

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1、第四章高阶微分方程Higher-OrderLinearODE1§4.1线性微分方程的一般理论§4.2常系数线性微分方程的解法§4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法本章内容/MainContents/2理解高阶线性微分方程解的性质和解的结构熟练掌握常系数线性微分方程的解法本章要求/Requirements/掌握高阶微分方程的一般解法3GeneralTheoryofLinearODE§4.1线性微分方程的一般理论4理解高阶齐次线性微分方程解的性质和解的结构理解高阶非齐次线性微分方程解的性质和解的结构本节要求/Requirements/5n阶

2、线性微分方程一般形式：其中是区间上的连续函数。称它为n阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为n阶非齐次线性微分方程。方程（4.2）叫做对应于方程（4.1）的齐次线性微分方程。4.1.1引言n阶微分方程一般形式：6方程（4.1）的解的存在唯一性定理:上，且满足初值条件：定理1及都是区间则对于任一及任意的方程（4.1）存在，定义于区间上的连续函数,唯一解如果74.1.2齐次线性微分方程解的性质与结构如果则它们的线性组合的解，这里是任意常数。是方程（4.2）也是（4.2）的k个解，例有解定理2（叠加原理）8证明9问题：时，若能否成为方程（4.2）的通解

3、？不一定不是方程的通解要使为方程（4.2）的通解还需满足一定的条件。?当是齐次线性微分方程的解，如在上例中10函数线性无关和线性相关定义在上的函数，如果存在使得恒等式不全为零的常数对所有成立，称这些函数是线性相关的，否则称这些函数在所给区间上线性无关。如在任何区间上都线性无关在任何区间上都线性相关上线性无关要使得则11定义在区间上的k个可微k-1次的函数所作成的行列式称为这些函数的朗斯基行列式。朗斯基（Wronsky）行列式12定理3在区间上线性相关，上它们的朗斯基行列式。则在证明由假设，即知存在一组不全为零的常数（4.6）（4.7）使得依次对t

4、微分此恒等式，得到若函数的齐次线性代数方程组，把（4.6）和（4.7）看成关于13它的系数行列式方程存在非零解的充要条件是系数行列式必须为零，即由线性代数理论证毕其逆定理是否成立？例如：即由其构成的朗斯基行列式恒为零，但它们也可能是线性无关的。不一定14故是线性无关的。15定理3在区间上线性相关，上它们的朗斯基行列式。则在若函数其逆定理不一定成立？即由其构成的朗斯基行列式恒为零，但它们也可能是线性无关的。16如果方程(4.2)的解在区间上线性无关，则任何点上都不等于零，即在这个区间的定理4设有某个，使得考虑关于的齐次线性代数方程组证明反证法（4.

5、9）17其系数行列式，故（4.9）有非零解构造函数根据叠加原理，是方程（4.2）的解，且满足初始条件由解的唯一性知，即因为不全为0，与的假设矛盾。（4.10）另也是方程(4.2)的解，线性无关证毕也满足初始条件（4.10）18如果方程(4.2)的解在区间上线性无关，则任何点上都不等于零，即在这个区间的定理4定理3若函数在区间上线性相关，则在上它们的朗斯基行列式。其逆定理不一定成立？即由其构成的朗斯基行列式恒为零，但它们也可能是线性无关的。19定理5n阶齐次线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解。重要结论在区间上线性相关的充分必要条件是证明在上

6、连续，取则满足初值条件的解存在唯一。设是方程(4.2)的解，则（1）在区间上线性无关的充分必要条件是（2）20线性无关。即齐次线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解。21定理6（通解结构）其中是任意常数，且通解（4.11）是方程（4.2）的n个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为（4.11）包括方程（4.2）的所有解。如果证明1)（4.11）一定是方程（4.2）的解，且含有n个独立的任意常数，是通解。2)（4.11）包含了方程（4.2）的所有解。22证明：首先（4.11）是（4.2）的解，又因此，是独立的。进而，（4.11）是（4.2）

7、的通解。23任给一初值条件设（4.11）是满足（4.12）的解，可得系数行列式，故方程组有唯一的解是满足初值条件的解（4.12）24方程(4.2)的一组n个线性无关解称为它的一个基本解组。基本解组不唯一。n阶齐次线性微分方程的所有解构成一个n维线性空间。作业：P.131，1，2,4,5当时，称其为标准基本解组。25定理5n阶齐次线性方程(4.2)一定存在n个线性无关的解，在区间上线性相关的充分必要条件是且任意n+1个解都线性相关。设是方程(4.2)的解，则（1）在区间上线性无关的充分必要条件是（2）复习26定理6（通解结构）其中是任意常数，且通解

8、（4.11）是方程（4.2）的n个线性无关的解，则方程（4.2）的通解可表为（4.11）包括方程（4.2）的所有解。如果n阶齐次线性微分