对流—扩散问题的有限体积法.pdf

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1、流体仿真与应用第八讲对流-扩散问题的有限体积法对流—扩散问题的有限体积法◆通用形式流动与传热问题守恒形式的输运方程div(U)div(grad)St瞬变项对流项扩散项源项◆稳态的对流-扩散问题的守恒方程div(U)div(grad)S一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆一维无源项的稳态对流-扩散dddudxdxdx◆流动过程同时必须满足连续性方程du0dx一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆一维稳态问题有限体积法d

2、duAeuAwAAdxedxw连续性方程uAuA0ewFuDxweFwuwFeueDwDexWPxPE当AeAw时，对扩散项采用中心差分，则对流-扩散积分方程FFDDeewweEPwPW一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆中心差分格式均匀网格WPEPwe22EPWPFFDDeweEPwPW22FwFeFw

3、FeDwDePDwWDeE2222FwFeFwFeDwDeFeFwPDwWDeE2222一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆中心差分格式通用的形式aaaPPEEWWFwaDWw2FeaEDe2aaaFFPWEew中心差分格式在扩散问题中，精度较高，收敛性也较好。但当有对流时，对控制容积界面处的输运量如果采

4、用相邻两节点的平均计算值，在一定条件下将出现不合理的结果。一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆中心差分格式（例子）一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆离散格式的性质在数学上，一个离散格式必须要引起很小的误差（包括离散误差和舍入误差）才能收敛于精确解，即要求离散格式必须要稳定或网格必须满足稳定性条件。在物理上，离散格式所计算出的解必须要有物理意义，对于得到物理上不真实的解的离散方程，其数学上精度再高也没有价值。通常，离散方程的误差都是因离散而引起，当网格步长无限小时，各种误差都会消失。然而，在实际计算中，考

5、虑到经济性（计算时间和所占的内存）都只能用有限个控制容积进行离散。因此，格式需要满足一定的物理性质，计算结果才能令人满意。主要的物理性质包括：守恒性、有界性和迁移性。一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆离散格式的性质——守恒性所谓守恒，就是说通过一个控制容积的界面离开该控制容积、进入相邻的控制容积的某通量相等。为保证在整个求解域上的每个控制容积上的某通量守恒，则通过相同的界面该通量的表达式应有相同的形式。12345q1q5q212132324311ex2w2e3

6、w3exxxx435454q4w4e5w5xxx一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆离散格式的性质——守恒性12345q1q5212132q11e2w2exxx324354qqq3w3e5w515xxx用有限体积法建立离散方程时，在下列条件下满足守恒要求①微分方程具有守恒形式；②在同一界面上各物理量及一阶导数连续。一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆离散格式的性质——守恒性满足守

7、恒性的离散方程不仅使计算结果与原问题在物理上保持一致，而且还可以使对任意体积（由许多个控制容积构成的计算区域）的计算结果具有对计算区域取单个控制容积上的格式所估计的误差。一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆离散格式的性质——有界性迭代法收敛的充分条件anb'1在所有节点aPanb1至少有一个节点'aP'aP为节点P的净系数，如无源项时在内部节点它实际就是aPanb，有源项时在内部节点和边界点它就是'，a为P点所aPanbSPnb有相邻节点的系数的和。对内部节点来说，无源项时该收敛条件取

8、“=”，有源项时该收敛条件取“<”，而对边界节点必须要取“<”。一维稳态对流—扩散问题的有限体积法◆离散格式的性质——有界性若离散格式产生的各节点系数能够满足上面的收敛条件，则离散方程组的节点系数矩阵为对角占优的，从而保证能收敛。为保证离散S方程组的节点系数矩阵对角占优，对源项的线性化处理应保证使P'取负值（SP取负值，则aPanbSPanb，从而保证了在边界节点满足收敛条件取“<”。）对角占优是满足有界性的特征。对