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1、6.4矩阵的三角分解法16.4矩阵的三角分解法——杜里特尔(Dolittle)分解法Gauss消去法的矩阵解释(k)设约化主元素akk≠（0k=1,2,…,n－1）。消去法实际上是对线性方程组的增广矩阵[A,b]做第三种初等行变换。由于对[A,b]施行第三种初等行变换相当于用对应的第三种初等矩阵左乘于[A,b]。⎡⎤1⎢⎥%⎢⎥⎢⎥1⎢⎥M=%ik⎢⎥⎢⎥m1ik⎢⎥⎢⎥%⎢⎥⎣⎦126.4矩阵的三角分解法（续）k列⎡⎤1⎢⎥%⎢⎥⎢⎥1k行⎢⎥M=#%ik⎢⎥⎢⎥m1i行ik⎢⎥⎢⎥%⎢⎥1⎣⎦M是特殊的初等矩阵，称为倍加矩阵，ik某矩阵Z左乘
2、M相当于将矩阵Z的第k行m倍加ikik于第i行。36.4矩阵的三角分解法（续）⎡⎤1⎡⎤aaaa11121314⎢⎥⎢⎥m1aaaa⎢⎥21⎢⎥21222324⎢⎥1⎢⎥aaaa31323334⎢⎥⎢⎥⎣⎦1⎢⎥⎣⎦aaaa41424344⎡aaaa11121314⎤⎢⎥maa++++maamaamaa=⎢211121211222211323211424⎥⎢aaaa⎥31323334⎢⎥⎢⎣aaaa41424344⎥⎦46.4矩阵的三角分解法（续）高斯消去法第1步：A(1)x=b(1)→A(2)x=b(2)(1)(1)(1)(1)⎧a11x1+a
3、12x2+"+a1nxn=b1⎡a11a12"a1n⎤⎡x1⎤⎡b1⎤⎪⎢(2)(2)⎥⎢x⎥⎢(2)⎥⎪a21x1+a22x2+"+a2nxn=b2⎢a22"a2n⎥⎢2⎥=⎢b2⎥⎨⎢##⎥⎢#⎥⎢#⎥⎪"⎢⎥⎢⎥⎢⎥(2)(2)(2)⎪ax+ax+"+ax=b⎢⎣an2"ann⎥⎦⎣xn⎦⎢⎣bn⎥⎦⎩n11n22nnnn(2)(2)矩阵表示为MMM"(,)(,)AbA=bnn11−,121其中⎡⎤1⎡⎤1⎢⎥⎢⎥⎢⎥1−m1M=⎢⎥21M=⎢⎥−m1213131⎢⎥#%⎢⎥⎢⎥⎢⎥#%⎣⎦01⎢⎥⎣⎦0156.4矩阵的三角分解法（续）⎡⎤
4、1⎡1⎤⎢⎥⎢⎥#%#%⎢⎥⎢⎥Mi1=⎢⎥−mi11Mn1=⎢1⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥#%⎢#%⎥⎢⎥⎣⎦01⎢⎣−mn11⎥⎦(1)ai1mi==,(2,",)ni1(1)a11记L=MM"M,有11nn−1,121(2)(2)LAALbb==,1166.4矩阵的三角分解法（续）⎡1⎤⎢⎥−m1⎢21⎥⎢#%⎥LMM==""MMI⎢⎥1nn1−1.1i121−m1⎢i1⎥⎢#%⎥⎢⎥⎢⎣−m1⎥⎦n176.4矩阵的三角分解法（续）高斯消去法第k步：A(k)x=b(k)→A(k+1)x=b(k+1)(1)(1)(1)(1)⎡a11a12"a1n⎤⎡x1
5、⎤⎡b1⎤⎢(2)(2)⎥⎢⎥⎢(2)⎥⎢a22"a2n⎥⎢x2⎥⎢b2⎥⎢%#⎥⎢#⎥⎢#⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥(k)(k)(k)⎢akk"akn⎥⎢⎥⎢bk⎥⎢##⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥(k)(k)(k)⎢⎣ank"ann⎥⎦⎢⎣xn⎥⎦⎢⎣bn⎥⎦(1)(1)(1)⎡aa""a⎤⎡x⎤⎡b(1)⎤11121n11⎢a(2)""a(2)⎥⎢⎥⎢(2)⎥⎢222n⎥⎢x2⎥⎢b2⎥⎢%#⎥⎢#⎥⎢#⎥⎢(k)(k)⎥⎢⎥⎢⎥⎢a""a⎥=b(k)kkkn⎢⎥⎢k⎥⎢a(k+1)a(k+1)⎥⎢⎥⎢b(k+1)⎥k+1k+1k+1,nk+1⎢⎥⎢⎥⎢⎥
6、⎢##⎥⎢⎥⎢⎥⎢(k+1)(k+1)⎥⎢x⎥⎢b(k+1)⎥⎣an,k+1ann⎦⎣n⎦⎣n⎦86.4矩阵的三角分解法（续）则有LA(k)=A(k+1)，Lb(k)=b(k+1)（k=1,2,…,n－1）kk其中LMMM=""knkikk+1,kK列⎡⎤1⎢⎥%⎢⎥⎢⎥1K行M=⎢⎥kk+1,−m1⎢⎥kk+1,⎢⎥%⎢⎥⎣⎦196.4矩阵的三角分解法（续）k列⎡⎤1⎢⎥%⎢⎥⎢⎥1k行⎢⎥M=%ik,⎢⎥⎢⎥−m1i行ik,⎢⎥⎢⎥%⎢⎥1⎣⎦()kaikmi==,(k+1,",)nik()kakk106.4矩阵的三角分解法（续）k列⎡1⎤⎢
7、⎥1⎢⎥⎢%⎥⎢⎥LMMMI==""1knkikk+1,k⎢⎥⎢−m1⎥kk+1,⎢⎥⎢#%⎥⎢−m1⎥⎣nk⎦LA(k)=A(k+1)，Lb(k)=b(k+1)（k=1,2,…,n－1）kk116.4矩阵的三角分解法（续）经过n-1步消元后，可以得到()nLLL"A=AU≡,nn−−121()nLLL"b=≡by,nn−−121因此，不选主元的高斯消去法消去过程,实质是增广矩阵[A,b]被左乘一系列倍加矩阵,变成上三角形矩阵[U,y]记()nn()[,]Ab=Α,[,]UUy=R,≡A,y≡b高斯消去MMMMM""""MM"MΑnn,1−+nk
8、,k1,kn232n13121法的矩阵=ΑLLL""L=Rnk−121形式−1Α=()MMMMM""""MM"MRnn,1−+nk,k1
