5.4矩阵三角分解法

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1、一、直接法概述直接法是将原方程组化为一个或若干个三角形方程组的方法，共有若干种．对于线性方程组其中系数矩阵未知量向量常数项根据Cramer(克莱姆)法则,若determinantal行列式的记号若用初等变换法求解,则对其增广矩阵作行初等变换:经过n-1次同解即以上求解线性方程组的方法称为Gauss消去法则都是三角形方程组上述方法称为直接三角形分解法§2MatrixFactorization–Doolittle道立特分解法/*DoolittleFactorization*/：——LU分解的紧凑格式/*compactform*/反复计算,很浪

2、费哦……通过比较法直接导出L和U的计算公式。思路§2MatrixFactorization–Doolittle固定i:对j=i,i+1,…,n有lii=1a固定j，对i=j,j+1,…,n有b上述解线性方程组的方法称为直接三角分解法的Doolittle法例1.用Doolittle法解方程组解:由Doolittle分解Doolittle法在计算机上实现是比较容易的但如果按上述流程运算仍需要较大的存储空间:因此可按下列方法存储数据:直接三角分解的Doolittle法可以用以下过程表示:存储单元(位置)紧凑格式的Doolittle法例2.用紧凑格

3、式的Doolittle法解方程组(例1)解:所以MatrixFactorization–Choleski平方根法/*Choleski’sMethod*/：——对称/*symmetric*/正定/*positivedefinite*/矩阵的分解法定义一个矩阵A=(aij)nn称为对称阵，如果aij=aji。定义一个矩阵A称为正定阵，如果对任意非零向量都成立。回顾：对称正定阵的几个重要性质A1亦对称正定，且aii>0若不然，则存在非零解，即存在非零解。对任意,存在,使得,即。其中第i位A的顺序主子阵/*leadingprin

4、cipalsubmatrices*/Ak亦对称正定对称性显然。对任意有,其中。A的特征值/*eigenvalue*/i>0设对应特征值的非零特征向量为，则。A的全部顺序主子式det(Ak)>0因为一、对称正定矩阵的三角分解(Cholesky分解)记为Diagonal:对角因此所以综合以上分析,则有定理1.(Cholesky分解)且该分解式唯一这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解二、对称正定线性方程组的解法线性方程组则线性方程组(10)可化为两个三角形方程组对称正定方程组的平方根法例1.用平方根法解对称正定方程组解:即三

5、、平方根法的数值稳定性用平方根法求解对称正定方程组时不需选取主元由可知因此平方根法是数值稳定的事实上,对称正定方程组也可以用顺序Gauss消去法求解而不必加入选主元步骤§2MatrixFactorization–TridiagonalSystem追赶法解三对角方程组/*CroutReductionforTridiagonalLinearSystem*/Step1:对A作Crout分解直接比较等式两边的元素，可得到计算公式。Step2:追——即解：Step3:赶——即解：与G.E.类似，一旦i=0则算法中断，故并非任何三对角阵都可以用此方

6、法分解。有一类方程组,在今后要学习的插值问题和边值问题中有着重要的作用,即三对角线方程组,其形式为:其中--------(1)以下以Crout分解导出三对角线方程组的解法设例1.用追赶法解三对角线方程组解:1111因此原线性方程组的解为