正定矩阵的判定与性质.pdf

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1、第卷南都学坛自然科学专号年第期,正定拒阵的列定与性质曹璞二次齐次多项式在实际工作和理论研究中是一种重要的多项式,它不仅在数学的许多分支中要用到,而且在物理学中也会经常遇到,其中实二次型中的正定二次型占有特殊的位置,正定二次型的系数。,,。矩阵就是正定矩阵因此对正定矩阵的讨论无论在矩阵理论方面或是实际应用方面都有重要的意义。下面介绍一些有关正定矩阵的判别方法及其重要性质。,,,,,,,定义若实数域上的一个元二次型⋯⋯一、戈、一、一是正乙乙官夕二定二次型,则称为正定矩阵。、二“’、、其中一⋯一月气⋯气⋯由定义不难得到”定理实对称矩阵是正定矩阵的充分而且必要条件是对于任意的维实非零列向量笋,

2、二次型是正定二次型。“,·,,’”“‘‘一““,”’定理实对角矩阵是正定矩阵的充分而且必要条件是‘、,定理实对称矩阵是正定矩阵的必要而且充分条件是二次型’的秩与符号差都等于”。。定理实对称矩阵是正定的当且仅当二次型的一切主子式都大于零’定理实对称矩阵是正定矩阵的必要而且充分条件是二次型的系数矩阵的所有特征根都是正数。以上定理这里均略去不证。,‘。定理阶实对称矩阵是正定矩阵的充要条件是存在可逆矩阵使得一证必要性若是正定矩阵,那么与单位矩阵合同,即存在可逆矩阵尸,,一一一,一。尸一‘‘一‘‘‘尸,尸‘,,使即一尸尸尸记即有一且是可逆矩阵‘,,‘。,充分性设有可逆矩阵能使一则对于任何非零实列

3、向量一⋯⋯共有,,,,,,尸尹’·············、己则······是正定矩阵。一一一其次还有以下几点重要结论也常用来判定矩阵是正定的。、与正定矩阵合同的矩阵一定是正定矩阵。事实上由合同的传递性及正定矩阵都与单位矩阵合同可知结论明显成立。、正定矩阵的逆矩阵必为正定矩阵。,,,一,因为正定矩阵与单位矩阵合同所以存在可逆矩阵尸使得尸一尸取逆矩阵一一一‘‘一,一,一,一,一。尸‘尸,‘尸尸,一,‘‘,,记尸即有一侧则与单位矩阵合同所以是正定矩阵正定矩阵的判定与性质、正定矩阵的和仍是正定矩阵。事实,一,,几,⋯,笋。,必有上若与是同阶正定矩阵则对于任意的非零实列向量,且‘,‘,‘,所。

4、从而以是正定的、。正定矩阵的任何主子式阵必为正定矩阵气,⋯气,’”,乏”“止“,,假设“一气’是一个阶正定矩阵它的‘阶主子式阵“簇毛’一份二据定理、“‘,,。可知从而再据定理可知的任何主子式阵一定是正定的、,“,,。对于任何的实对称矩阵必有实数夕使得与班是正定矩阵,,,,’实对称矩阵的特征根都是实数不妨记其中绝对值最大的一个特征根为凡只要取夕人。即可使脚是正定矩阵人·这是,可使’左一”’月’一‘因为假设是正交矩阵则有声班’人口人口人,口,,,,,一’·,十一其中由于口凡⋯可知班是芦凡口凡正定矩阵。。,。,。当取一时则,,一盯,是正定矩阵五告尸尸、假设,都是正定矩阵,并且一,则也必为正定

5、矩阵。事实,一时’一‘一一上由定理易知的特征根都大于零当说明又,。是对称的从而可知是正定的正定矩阵有以下重要性质、。正定矩阵的主对角线上元素必全大于零,、,,二,‘事实一,,它所确定的二次型‘一必上当实对称矩阵是正定的时乙乙。,,,,‘一,,、,十,,,一,‘为正定二次型假设簇取一⋯⋯一一一。⋯几代人上式得,‘,‘,,,。一味毯。这即与是正定的相矛盾所以只有乌一⋯的、。正定矩阵的行列式必大于零了,,,由于正定矩阵与单位矩阵合同所以存在可逆矩阵尸使得一尸一尸从而‘尸一尸,。一尸由此还可以看出正定矩阵一定是可逆矩阵、。正定矩阵的元素的绝对值最大者一定是主对角线上的元素设一执,是正定矩阵,久

6、,共的绝对值为最大,久,马,,由定理其中元素则可知的少久久,、,,’,马,马,,,一切主子式都大于零从而有气一即气这与假设矛盾故正定矩护少阵中元素的绝对值最大者必是主对角线上的元素。注这个结论常用于判定某些实对称矩阵不是正定的矩阵。因为只要有一个非主对角线上的元素的绝对值不小于主对角线上元素的绝对值的最大者,那么这个实对称矩阵必不是正定矩阵。、正定矩阵乘积的特征根都大于零。,,,尸、,一‘尸,,,尸‘设均为正定矩阵据定理知必有可逆矩阵使得尸一从而一,’’,,‘‘分,‘‘,‘‘‘,可逆又由定理知’‘是正定矩阵‘’,,从而与正定矩阵尸相似而相似矩阵的特征根相同所以由定理可知的特征根都大。。

7、于零这里需要注意的是不一定就是对称矩阵、若是一个,阶正定矩阵,则一其中是主对角线上元素全大于零的上三角形矩阵。事实一‘,丫一,,上由定理知必有可逆矩阵使得又其中是正交矩阵是一个上三角形实矩阵且主对角线上元素都是正数。,‘’。⋯月一乙了