正定矩阵的性质探讨-论文.pdf

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1、学科探索DisciplinesExploration正定矩阵的性质探讨钱珑袁江(湖北经济学院法商学院湖北·武汉430205)摘要本文主要是借用正定矩阵的相关性质，从理论的角度对两个同阶正定矩阵进行了性质上的研究和比较，列出了一些基本的性质，给出了简单的证明，对不成立的性质则举出反例给予说明。这些陛质定理和推论对研究实对称正定矩阵是有一定帮助的。关键词正定矩阵性质探讨中图分类号：0241．6文献标识码：AExploretheNatureofPositiveDefiniteMatrixQIANLong，YUANJiang(CollegeofLaw&Bus

2、inessofHubeiUniversityofEconomics，Wuhan，Hubei430205)AbstractThisarticlemainlyborrowstherelatednatureofpositivedefinitemarx，fromatheoreticalpointoftwoofthesameorderdefinitematrxwerestudiedandcomparedonthenature，listssomebasicproperties，givesasimpleproofofthenatureisnotestablishe

3、dcounterexampletogiveinstructions．Thesenleoremsandcorollariesrealsymmetricpositivedefinitematrxstudyiscertainlyhelpful．Keywordspositivedefinitematrix；nature；explore1正定矩阵的性质性质6若4是正定对称矩阵，则存在惟一的正定矩阵B性质lA是正定矩阵，则存在实非奇异方阵C使4=C℃。使得爿=伊。性质2正定矩阵只能与正定矩阵合同。证明由彳是正定对称矩阵，则存在n阶正交矩阵L使得性质3任意两个同阶

4、实对称正定矩阵的和是正定矩阵，UAT=T-1AT=diag(2F“l。)，其中Al'．“^为爿的特征值。医阻更一般地，正定矩阵的正线性组合是正定矩阵。是正定对称矩阵，故所有A，>0，令B=Tdiag(√Il’．一，√A。)T-1，由上述性质定理可知，如果方阵彳和口都是正定的，则彳7，则曰为正定对称矩阵且有4=∥。4Ⅷ也是正定的，但一般来说AB却不一定是正定矩阵。例设c也为正定对称矩阵且有4=C2，那么把C的特征值pl，．一，如：取矩阵rj2一11F2111，A，B均为正定矩阵，∥。适当编号可设厉=^，即肪=√A，，所以有正交矩阵R使得C=庐1l1一1

5、1一1。13Pj1111【0。3jRdiag(^、／2F一，√L)R“但r11721不是对称矩阵，因此彳口不是正定矩阵。以由于B2=C2，i辅XRdiag(AI，．一1．)月“=Tdiag(以z，⋯，~／，i。)肚I43—1T-1，即r～Rdiag(2·，⋯l。)=diag(2·，⋯1．)T-1R。令O=T-1R=0—28(劬)。，上式就是说qF≈=乃q，，1≤f，，≤n，那么当^，≠九时必有下性质说明了AB在什么情况下为正定矩阵。q口=0，所以得出g√≈=√五日口，l≤f，／≤”，即Q硪昭(√^t，⋯，√A。)性质4设，4，B均为”阶正定矩阵，若乘

6、积彳B=BA，则爿B=成ag(√A一，⋯，√A。)Q。于歇纰(√Al'．一，√五。)R‘1=Tdiag(√A·，为正定对称矩阵。⋯，√A。)T-1，也就是C=B。证明：A，B均为正定对称矩阵，由定理3．1知，存在非奇异由上述证明过程可知对实对称正定矩阵彳分解后有彳=B2矩阵P与Q，使得：彳=UP，B=QrQ，从而有爿B=P『PQ『Q，且它且曰为正定对称矩阵。与Q尸0'Q7=Q妒r尸Q也)Q“相似，从而两者有相同的特征根。2矩阵正定的充分必要条件但剑唧Ⅺ’=(eQ'YE(JPQr)，由性质2知QPrPQ功正定矩阵，且定理l设爿是聍阶实对称矩阵，则下面各

7、条等价：(I)A为其特征值都是正实数，而∞B)kB■7=BA=AB。正定矩阵：(II)爿的一切顺序主子式都大于0；(III)A的一切主因此彳B为对称矩阵。故AB的特征根都是正实数，再由子式都大于0；(IV)爿合同于郴介单位矩阵E；(V)爿半正定，定理1知AB是正定对称矩阵。且1AI≠0；(VI)对任意Hxm实矩阵c，如果C的秩为m，都有通过这个性质的证明过程可以发现，一个矩阵4的特征值C■C为正定矩阵。都大于零并不能判定，4是正定的，还需要证明阻是实对称矩阵。证明(I)；(II)爿的前，，l行前脚列的子矩阵简记为A，(卅=1，这是因为二次型厂的矩阵，

8、4都是实对称矩阵，讨论二次垂妒的正2，⋯，聆)，显然是实对称矩阵，令x，-(xl'．··^，0，⋯0)定性或