数列极限的几种求法.pdf

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1、承德职业学院学报2007年第3期JOURNALOFCHENGDEVOCATIONALCOLLEGENO.3.2007数列极限的解题方法董桂英1，张静2（1、2河北旅游职业学院河北承德067000）摘要：本文提出了数列极限计算中常见的十一种不同的题型，并对每一种题型进行了分析说明。指出在数列极限计算中不仅要掌握各种题型的解题方法，更要注意每种题型的条件要求。关键词：子列定积分级数柯西收敛准则施笃兹定理中图分类号:G623.5文献标识码:A文章编号:1673-2758(2007)03-0029-02数学发

2、展至今，已经广泛地渗透到了各个学科。运用数二、利用无穷小量的性质求数列的极限学理论分析和解决实际问题，是高等教育中开设《高等数学》说明：⑴有限个无穷小量的和与积仍是无穷小量。课程的主要目的。在多年的教学实践中发现，许多学生在学⑵有界函数与无穷小量的积是无穷小量。ɑ习数列极限时感到非常困难，分析其原因在于数列极限概念[例5]lim(n+ɑ-)n＝lim＝0n→∞n→∞n+ɑ+n不仅抽象，计算也有一定的难度。因此，熟练准确地计算数列三、利用两边夹定理求数列的极限极限，对于学好高等数学是十分必要的。本文以十

3、一种不同定理：设{ɑn}，{bn}{，cn}是三个数列。若N∈N,n>N,有的题型，详细地指出数列极限的解题方法，这对于培养学生ɑn≤bn≤cn，且limɑn＝limcn＝t,则limbn＝tn→∞n→∞n→∞准确计算数列极限将有所裨益。111[例6]求极限lim(++⋯+)n→∞n2+1n2+2n2+n一、利用极限的运算法则求数列的极限mm-1∞m>t解：设cn=++11⋯+,1有ɑ0n+ɑ1n+⋯+ɑmɑn2+1n2+2n2+n说明:1、利用公式lim＝0n→∞bnt+bnt-1+⋯+btm=t1

4、11n01cb0n>++⋯+＝2、无理部分先要进行有理化。n2+nn2+nn2+nn2+n0m=n,n2+1n2有[例2]lim(++⋯)＝lim＝lim＝n→∞n2n2n2n→∞n22n→∞2n2nnnn<

5、[例3]lim＝lim＝nn→∞n+2-nn→∞2(n+2+n)2已知lim＝1，有n→∞n+1n+1+nn+1-nlim（++11⋯+1）＝1[例4]n→li∞m(sinn+1-sinn)＝n→li∞m2cossinn→∞n2+1n2+2n2+n22n+1+n1四、利用实数连续性（单调有界数列存在极限）求数列的极限＝lim2cossinn→∞2(n+1+n)解题步骤：1、找出x2n+1和xn的关系式。＝02、证明{xn}单调，有界。3、用关系式求极限。[例7]证明数列ɑ，ɑ+ɑ，⋯，ɑ+ɑ+ɑ+⋯+

6、ɑ，⋯收稿日期：2007-07-14（ɑ>0）收敛，并求它的极限。作者简介：董桂英（1963——7）女高级讲师证明：令sn＝ɑ+ɑ+ɑ+⋯+ɑ有sn+1＝ɑ+sn张静（1976——）女讲师1）、用数学归纳法证明，数列{sn}严格增加有上界。29承德职业学院学报2007年第3期JOURNALOFCHENGDEVOCATIONALCOLLEGENO.3.2007b显然，当n＝1时，有s1

7、，有sk+1

8、}收敛，设lni→m∞sn＝l。已知取ξi=(s)2＝ɑ＋s，有nn11n+1n所以I=limΣf(ξi)△xi=∫dx=1n

9、1+x

10、=1n2n→∞01+xlim(s)2＝ɑ＋lims，即l2＝ɑ＋l，得l＝(11±)，i=1n→∞n+1n→∞n1+4ɑ九、利用级数的结论考察数列的极限2由极限保号性，l不能是负数，则数列{sn}的极限是说明：1、n项和形式的数列收敛的判断（证明）可以用级1l＝(1+)1+4ɑ。数收敛性判别法，求极限可用级数求和法。2五